数据结构与算法—插入排序&选择排序_插入排序和选择排序

目录

一、排序的概念

二、插入排序  

1、直接插入排序 

特性总结：

2、希尔排序

特性总结：

 三、选择排序

1、直接选择排序 

特性总结：

2、堆排序—排升序(建大堆)

向下调整函数

堆排序函数

特性总结：

代码完整版： 

 头文件

 函数文件

 测试文件

---

一、排序的概念

 

二、插入排序  

1、直接插入排序 

 我们来看一下代码的运行过程：

void InsertSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int end = i;
		int tmp = a[i + 1];
		while (end >= 0) {
			if (a[end] > tmp) {
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else {
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}

• 函数参数：指针a接收数组，n接收数组元素个数。
• 首先，外层循环从第一个元素开始遍历到倒数第二个元素，因为在内层循环中需要比较当前元素和前一个元素的大小，所以最后一个元素不需要再比较。
• 在外层循环中，我们将当前元素的下一个元素作为待插入元素，将当前元素的下标保存在变量end中，这个变量表示当前元素在已排序部分中的位置。
• 接下来while循环中，我们在已排序部分从后往前遍历，比较当前元素和已排序部分中的元素大小，如果当前元素小于已排序部分中的元素，则将已排序部分中的元素后移一位，直到找到当前元素的正确位置。
• 最后，我们将待插入元素插入到正确的位置，即end+1的位置。
• 内层循环结束后，当前元素已经被插入到了正确的位置，我们继续外层循环，处理下一个元素，直到所有元素都被插入到正确的位置。

特性总结：

1. 元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高

2. 时间复杂度：O(N^2)

3. 空间复杂度：O(1)，它是一种稳定的排序算法

4. 稳定性：稳定

2、希尔排序

 希尔排序（Shell Sort）是一种改进的插入排序算法，它的基本思想是将待排序的序列分成若干个子序列，对每个子序列进行插入排序，然后再将整个序列进行一次插入排序。通过这种方式，可以使得序列中较小的元素尽可能地快速地移动到前面，从而减少了插入排序的比较次数和移动次数，提高了排序的效率。

希尔排序的算法过程如下：

1. 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
2. 按增量序列个数k，对序列进行k趟排序；
3. 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m的子序列，分别对每个子序列进行插入排序；
4. 将各个子序列中的排序结果合并成一个序列。

代码如下：

void ShellSort(int* a, int n)
{
	//1、gap >  1 预排序
	//2、gap == 1 直接插入排序
	int gap = n;
	while (gap > 1) {
		gap = gap / 3 + 1;// +1可以保证最后一次一定是1
		for (int i = 0; i < n - gap; i++) {
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0) {
				if (a[end] > tmp) {
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else {
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}

• 首先，我们选择一个增量gap=n，然后将序列分成若干个子序列，对每个子序列进行插入排序。
• 在这个实现中，我们使用了一个while循环来计算增量gap，每次将gap除以3并加1，保证gap最小为1，此时进行直接插入排序。
• 在外层while循环中，我们将序列分成若干个子序列，每个子序列的长度为gap。然后，我们对每个子序列进行插入排序，将子序列中的元素插入到已排序部分的正确位置。

• 在内层循环中，我们使用了一个变量end来表示当前元素的下标，每次将end减去gap，直到找到当前元素的正确位置。然后，我们将待插入元素插入到正确的位置，即end+gap的位置。

• 内层循环结束后，当前子序列已经排好序了，我们继续外层while循环，处理下一个子序列，直到所有子序列都被排好序了。

 以数组 a = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 3, 2, 1, 0]，长度 n = 11为例，演示排序过程

图中颜色相同的值为当前<间距gap>下的子序列，从前往后依次比较每个子序列（也就是相距 gap 个位置的值的大小）。

特性总结：

1. 希尔排序是对直接插入排序的优化。
2. 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比。
3. 希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些书中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定，但我们只需记住结论：O（N^ 1.3），复杂的推导和计算过程不需要了解。

 三、选择排序

1、直接选择排序 

第一种：通过不断选择未排序序列中的最小元素，并将其放到已排序序列的末尾，逐步构建有序序列。外层循环控制已排序序列的末尾位置，内层循环用于找到未排序序列中的最小元素。通过不断交换位置，将最小元素放到已排序序列的末尾，直到整个数组排序完成。

void SelectSort(int arr[], int n) {
    int i, j, minIndex, temp;
    for (i = 0; i < n-1; i++) {
        minIndex = i;
        for (j = i+1; j < n; j++) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                minIndex = j;
            }
        }
        temp = arr[i];
        arr[i] = arr[minIndex];
        arr[minIndex] = temp;
    }
}

第二种：通过每一轮的比较，找到最大值和最小值，将最大值的节点跟右边交换，最小值节点跟左边交换，达到排升序的效果。

我们先看代码，然后通过一个例子就能明白了。 

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
 
void SelectSort(int* a, int n)
{
	int begin = 0, end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int maxi = begin, mini = begin;
		for (int i = begin; i <= end; i++)
		{
			if (a[i] > a[maxi])
			{
				maxi = i;
			}
 
			if (a[i] < a[mini])
			{
				mini = i;
			}
		}
 
		Swap(&a[begin], &a[mini]);
		// 如果maxi和begin重叠，修正一下即可
		if (begin == maxi)
		{
			maxi = mini;
		}
 
		Swap(&a[end], &a[maxi]);
 
		++begin;
		--end;
	}
}

• 代码中的变量begin和end分别表示当前未排序的元素范围的起始和结束位置。
• 在while循环中，每次从begin到end的范围内找到最大和最小的元素，分别用maxi和mini记录它们的下标。
• 然后将mini所指向的元素与begin所指向的元素交换位置，将maxi所指向的元素与end所指向的元素交换位置。
• 如果maxi和begin重叠，说明mini所指向的元素是当前未排序元素中最大的，需要将maxi更新为mini。
• 最后，begin指针向后移动一位，end指针向前移动一位，继续进行下一轮排序。 

我们来用一个简单的例子演示一下这个选择排序算法的过程。

假设我们有一个数组`a`，它的元素为：[5, 3, 8, 6, 4, 2]，我们要对它进行排序。

首先，begin指向第一个元素，end指向最后一个元素：

begin = 0
end = 5

接下来，我们进入主循环，因为`begin`小于`end`，所以我们需要继续排序。在第一轮排序中，我们需要找到未排序部分的最大值和最小值。

首先，我们将`maxi`和`mini`都初始化为`begin`，也就是第一个元素的索引。然后，我们遍历未排序部分的元素，找到最大值和最小值的索引。在这个例子中，最大值的索引是2，最小值的索引是5。

maxi = 2
mini = 5

接下来，我们将未排序部分的最小值交换到开始位置，将未排序部分的最大值交换到结束位置。这时，数组的状态变为：[2, 3, 5, 6, 4, 8]

由于我们已经将当前范围的最大值和最小值放到了正确的位置，所以我们将`begin`向后移动一位，将`end`向前移动一位，继续进行下一轮排序。此时，`begin`指向第二个元素，`end`指向倒数第二个元素：

begin = 1
end = 4

在第二轮排序中，我们需要找到未排序部分的最大值和最小值。这时，最大值的索引是3，最小值的索引是1。

maxi = 3
mini = 1

接下来，将未排序部分的最小值交换到开始位置，将未排序部分的最大值交换到结束位置。这时，数组的状态变为：[2, 3, 5, 4, 6, 8] 

进行下一轮排序。此时，`begin`指向第三个元素，`end`指向第四个元素： 

begin = 2
end = 3

 在第三轮排序中，我们需要找到未排序部分的最大值和最小值。这时，最大值的索引是2，最小值的索引是1。 

maxi = 2
mini = 3

最后，我们将未排序部分的最小值交换到开始位置，将未排序部分的最大值交换到结束位置。这时，数组的状态变为：[2, 3, 4, 5, 6, 8]，所有元素都排序完成，排序结束。

特性总结：

1. 直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用
2. 时间复杂度：每一轮比较都需要遍历数组，查找最大最小值，第一轮遍历N个数据，第二轮是N-2个数据，第三轮N-4 …，遍历次数为：N+N-2+N-4+…+1，一个等差数列求和，所以总的时间复杂度为O(N^2)
3. 空间复杂度：O(1)
4. 稳定性：不稳定

2、堆排序—排升序(建大堆)

向下调整函数

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
 
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
 
	while (child < n){
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
			++child;
 
		if (a[child] > a[parent]){
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
 
		else
			break;
	}
}

• 通过传入参数获取到当前的左子节点的位置。
• 当child位置小于数组元素个数时进行判断。
• 进入循环，首先判断检查右子节点是否存在并且比左子节点的值大，如果是，将 child 更新为右子节点的索引，以确保选择更小的子节点进行比较。
• 比较选定的子节点的值与父节点的值，如果子节点的值大于父节点的值，就交换它们。
• 更新parent为新的子节点位置，更新child为新的左子节点位置，然后继续比较和交换，直到不再需要交换为止。
• 如果当前子节点不大于当前父节点则停止循环。

堆排序函数

// 排升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 建大堆
	for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
 
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

1.  在HeapSort函数中，第一个循环调用了AdjustDown函数，将待排序数组构建成了一个大堆。但是，这个大堆并不是完全有序的，只是满足了大堆的性质，即每个节点的值都大于或等于其左右子节点的值。因此，需要进行第二个while循环，将大堆中的元素依次取出，交换堆顶元素和数组末尾元素，并重新调整大堆，直到整个数组有序。
2. 第二个while循环中，将堆顶元素与数组末尾元素交换，然后将剩余元素重新调整为大堆。这样，每次交换后，数组末尾的元素就是当前大堆中的大值，而剩余元素仍然满足大堆的性质。重复以上步骤，直到整个数组有序。

特性总结：

1. 堆排序使用堆来选数，效率就高了很多。
2. 时间复杂度：O(N*logN)
3. 空间复杂度：O(1)
4. 稳定性：不稳定

代码完整版： 

 头文件

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
 
void PrintArray(int* a, int n);
void InsertSort(int* a, int n);
void ShellSort(int* a, int n);
void SelectSort(int* a, int n);
void HeapSort(int* a, int n);

 函数文件

#include "sort.h"
 
void PrintArray(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
}
 
void InsertSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int end = i;
		int tmp = a[i + 1];
		while (end >= 0) {
			if (a[end] > tmp) {
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else {
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}
 
void ShellSort(int* a, int n)
{
	//1、gap >  1 预排序
	//2、gap == 1 直接插入排序
	int gap = n;
	while (gap > 1) {
		gap = gap / 3 + 1;// +1可以保证最后一次一定是1
		for (int i = 0; i < n - gap; i++) {
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0) {
				if (a[end] > tmp) {
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else {
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}
 
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
 
void SelectSort(int* a, int n)
{
	int begin = 0, end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int maxi = begin, mini = begin;
		for (int i = begin; i <= end; i++)
		{
			if (a[i] > a[maxi])
			{
				maxi = i;
			}
 
			if (a[i] < a[mini])
			{
				mini = i;
			}
		}
 
		Swap(&a[begin], &a[mini]);
		// 如果maxi和begin重叠，修正一下即可
		if (begin == maxi)
		{
			maxi = mini;
		}
 
		Swap(&a[end], &a[maxi]);
 
		++begin;
		--end;
	}
}
 
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n) {
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) {
			child++;
		}
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}
 
void HeapSort(int* a, int n)
{
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i) {
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0) {
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}
}

 测试文件

#include"Sort.h"
#include<time.h>
 
void TestInsertSort()
{
	//int a[] = { 4,7,1,9,3,4,5,8,3,2 };
	int a[] = { 4,7,1,9,3,6,5,8,3,2,0 };
	PrintArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	InsertSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	PrintArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
}
 
void TestSelectSort()
{
	//int a[] = { 4,7,1,9,3,6,5,8,3,2,0 };
	int a[] = { 9,7,1,3,3,0,5,8,3,2,3 };
	PrintArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	SelectSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	PrintArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
}
 
void TestHeapSort()
{
	int a[] = { 4,7,1,9,3,6,5,8,3,2,0 };
	PrintArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	PrintArray(a, sizeof(a) / sizeof(int));
}
 
void TestOP()
{
	srand(time(0));
	const int N = 1000000;//运行时间较长可自行更改大小
	int* a1 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a2 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a3 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a4 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a5 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a6 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
	int* a7 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
 
 
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		a1[i] = rand();
		a2[i] = a1[i];
		a3[i] = a1[i];
		a4[i] = a1[i];
		a5[i] = a1[i];
		a6[i] = a1[i];
		a7[i] = a1[i];
	}
 
	int begin1 = clock();
	InsertSort(a1, N);
	int end1 = clock();
 
	int begin2 = clock();
	ShellSort(a2, N);
	int end2 = clock();
 
	int begin3 = clock();
	SelectSort(a3, N);
	int end3 = clock();
 
	int begin4 = clock();
	HeapSort(a4, N);
	int end4 = clock();
 
	printf("InsertSort:%d\n", end1 - begin1);
	printf("ShellSort:%d\n",  end2 - begin2);
	printf("SelcetSort:%d\n", end3 - begin3);
	printf("HeapSort:%d\n",   end4 - begin4);
 
	free(a1);
	free(a2);
	free(a3);
	free(a4);
	free(a5);
	free(a6);
	free(a7);
}
 
int main()
{
	//TestInsertSort();
	//TestShellSort();
	//TestSelectSort();
	//TestHeapSort();
 
	TestOP();
 
	return 0;
}