数学模型：优化模型（二）血管分支问题_数学建模血管分支问题

问题背景

血管形状遵循能量最小原则，指研究血管分支处粗细血管的比例和分叉角度。

模型假设

1. 分支点处的三个血管在同一平面（若不在同一平面就不符合能量最小原则）[几何上的假设]
2. 血液流动受到的阻力看成粘性流体在刚性管道中的流动受到的阻力[物理上的假设]
3. 血液对血管壁提供营养的能量随管壁内表面积和管壁内的体积的增加而增加，管壁所占体积取决于管壁厚度，厚度近似与血管半径成正比。[生理上的假设]
   假设2: 利用流体力学中的Poiseuille定律，血液提供半径r，长为l的一段血管AC时，流量为：
   
   其中△p是A,C两点的压力差，μ是血液的粘性系数。在血液流动过程中，机体克服阻力所消耗的能量为E₁=q·△p，将（1）式中的△p代入，得
   
   假设3： 比较复杂,需要作进一步简化，对于半径为r、长度为l的血管，管壁内表面积s=2πrl，管壁所占体积v=s’l，其中s’是管壁截面积。记壁厚为d，则s’=π[(r+d)²-r²]=π(d²+2rd)。设壁厚d近似地与半径r成正比，可知v近似地与r²成正比，又因为s与r成正比，为血管壁提供营养消耗的能量为
   

模型建立

结果解释

上述结果与实验吻合的相当好

有趣的推论