数据结构——哈夫曼树_哈夫曼树是否唯一

——本节内容为Bilibili王道考研《数据结构》P53视频内容笔记。

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目录

一、相关术语

二、定义

三、构造哈夫曼树

四、哈夫曼编码

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一、相关术语

1.结点的权：有某种现实含义的数值（如：表示结点的重要性等）；

2.结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积；

3.树的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL:Weighted Path Length）：

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二、定义

1.在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树。

 

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三、构造哈夫曼树

1.给定n个权值分别为w1、w2、...、wn的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下：

（1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F，如图：

 （2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左右子树，并且将新结点的权值置为左右子树上根结点的权值之和；

 （3）从F中删除刚才选中的两棵树，同时将新得到的树加入F中，如图：

（4）重复步骤（2）、（3）直至F中只剩下一棵树为止，如图：

 2.构造性质：

（1）每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大；

（2）哈夫曼树的结点总数为2n-1；

（3）哈夫曼树中不存在度（子树数）为1的结点；

（4）哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优，比如上面的例子我们也可以构造为：

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四、哈夫曼编码

1.固定长度编码：每个字符用相等长度的二进制位表示，比如：

A——0100 0001                                                A——00

B——0100 0010                                                B——01

                                                 或

C——0100 0011                                                C——10

D——0100 0100                                                D——11

2.如A——00，B——01，C——10，D——11的编码，分别给出A、B、C、D的权重为10、8、80、2。则这种编码方案我们也可以用树的形式来表达为：

 3.按照刚才构造哈夫曼树的步骤，将上面的二叉树进以优化得到：

 则对应的编码方案应为：

C——0

A——10

B——111

D——110

4.上面由哈夫曼树得到的即为哈夫曼编码——字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，通过构造哈夫曼树得到；

这种编码方案也称为可变长度编码——允许对不同字符用不等长的二进制位表示；

且这种编码方案在解译的时候不会出现歧义，又称为前缀编——即没有一个编码是另一个编码的前缀；

5.哈夫曼树不唯一，因此哈夫曼编码也不唯一。