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一、图的逻辑结构
1、图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成,通常表示为:
G=(V,E)
其中:G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中顶点之间边的集合。
在线性表中,元素个数可以为零,称为空表;
在树中,结点个数可以为零,称为空树;
在图中,顶点个数不能为零,但可以没有边。
2、不同结构中逻辑关系的对比
在线性结构中,数据元素之间仅具有线性关系;
在树结构中,结点之间具有层次关系;
在图结构中,任意两个顶点之间都可能有关系。
二、图的基本术语
简单图:在图中,若不存在顶点到其自身的边,且同一条边不重复出现。
邻接、依附:
无向图中,对于任意两个顶点vi和顶点vj,若存在边(vi,vj),则称顶点vi和顶点vj互为邻接点,同时称边(vi,vj)依附于顶点vi和顶点vj。
有向图中,对于任意两个顶点vi和顶点vj,若存在弧<vi,vj>,则称顶点vi邻接到顶点vj,顶点vj邻接自顶点vi,同时称弧<vi,vj>依附于顶点vi和顶点vj 。
无向完全图:在无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称该图为无向完全图。
有向完全图:在有向图中,如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧,则称该图为有向完全图。
含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。
含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。
稀疏图:称边数很少的图为稀疏图;
稠密图:称边数很多的图为稠密图。
顶点的度:在无向图中,顶点v的度是指依附于该顶点的边数,通常记为TD (v)。
顶点的入度:在有向图中,顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目,记为ID (v);
顶点的出度:在有向图中,顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目,记为OD (v)。
具有n个顶点、e条边的无向图G中,各顶点的度之和与边数之和的关系?
在具有n个顶点、e条边的有向图G中,各顶点的入度之和与各顶点的出度之和的关系?与边数之和的关系?
权:是指对边赋予的有意义的数值量。
网:边上带权的图,也称网图。
路径:在无向图G=(V, E)中,从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq),其中,(vij-1,vij)∈E(1≤j≤m)。若G是有向图,则路径也是有方向的,顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。
V1 到V4的路径: V1 V4
V1 V2 V3 V4
V1 V2 V5V3 V4
一般情况下,图中的路径不惟一。
V1 V4:长度为8
V1 V2 V3 V4 :长度为7
V1 V2 V5V3 V4 :长度为15
回路(环):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径:序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路(简单环):除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路。
子图:若图G=(V,E),G'=(V',E'),如果V'ÍV 且E' Í E ,则称图G'是G的子图。
连通图:在无向图中,如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径,则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的,则称该图是连通图。
连通分量:非连通图的极大连通子图称为连通分量。
极大连通子图:含有极大顶点数;依附于这些顶点的所有边。
强连通图:在有向图中,对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j),若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径,则称该有向图是强连通图。
强连通分量:非强连通图的极大强连通子图。
生成树:n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。
极小连通子图:有n-1条边,多——构成回路,少——不连通。
生成森林:在非连通图中,由每个连通分量都可以得到一棵生成树,这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
三、图的抽象数据类型定义
ADT Graph
Data
顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
InitGraph
前置条件:图不存在
输入:无
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