149、【动态规划】leetcode ——343. 整数拆分（C++版本）_数字拆解c++dp

题目描述

原题链接：343. 整数拆分

解题思路

拆分的实质就是枚举处各种情况，为了便于实现，我们拆分时，拆分出两个数，其中固定一个数不变，可对另一个数继续拆分，凑出拆分后相乘最大的数。

• 动态规划五部曲：
  （1）dp[i]的含义： 拆分数字i，可组合出的最大乘积。

（2）递推公式： dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))，首先是里面的max(j * (i - j), j * dp[i - j])，i * (i - j)是看拆分成两个数得到的乘积，j * dp[i -j]是看拆分成三个及以上数得到的乘积，取二者的最大值，然后还需要和之前已得到的最大dp[i]对比，取最终的最大值。

（3）dp数组初始化： 0不是正整数，1是最小正整数，规定了n>=2，因此dp[0] = dp[1] = 0。2只能被拆分成1和1，dp[2] = 1.

（4）确定遍历顺序： 从小到大。

（5）举例：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        int dp[59] = {0};
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
            	// 每次先拆分成两个数j和i - j，然后再保持j不变的前提下，拆分出i - j后相乘的最大值
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }

        return dp[n];
    }
};
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Python

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        dp[2] = 1

        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(i):
                dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - j] * j, (i - j) * j))
        
        return dp[n]
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代码优化

根据规律可发现，乘积的最大值，会是较为相近的数相乘。因此，取一半即可。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        int dp[59] = {0};
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }

        return dp[n];
    }
};
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参考文章：343. 整数拆分