美赛BOOM数学建模BOOM1-4多目标规划_数学建模boom课程加代码

❑模型简介

❑ 本质

既要XXX，又要XXX

❑ 回顾：(非)线性规划都是一个目标函数，例如工业生产产品，追求最大化利润等等。

❑ 例如：某工厂生产产品Ⅰ和产品Ⅱ，有关数据如下，若只追求最大化利润，得到模型：

❑ 多目标

现在设有3个目标：

• 1.尽量使产品Ⅰ的产量不超过产品Ⅱ的产量；

• 2.尽可能充分利用设备，但不希望加班

• 3.尽可能使利润不少于56万

❑ 翻译翻译

• 目标1是“不超过”，也就是尽量“⩽”

• 目标2是“充分利用又不加班”，也就是尽量“=”

• 目标3是“不少于”，也就是尽量“⩾”

• “尽可能”的意思是，能满足最好

• 若满足不了，就要在多个目标中做出取舍

• 隐藏条件：原材料有限，生产总消耗无法超出原材料

❑ 解题思路

• 需要衡量每个目标的完成情况；

• 如果三个目标有一定冲突，要在主观上区分三个目标的重要性；

• 使得整体的完成情况尽量好。

❑ 多目标规划难在哪？

• 极端例题：尽量保证每天吃的肉不少5斤，且尽可能保持体重在100斤以下

• “既要”“又要”，但有时难以同时满足所有目标

❑ 如何衡量每个目标的完成情况

• 正偏差变量为实际值超过目标值的部分，

• 负偏差变量为实际值未达到目标值的部分，（为整数）

• 第3个目标要求不少于目标值，意味着负偏差变量越小越好

❑ 约束必须满足么？

• 生产用的原材料用完了就没了，所以“原材料有限”为绝对约束，必须满足

• 有些目标例如尽可能使利润不少于56万，对追求的目标值允许有偏差，称为目标约束

❑ 目标太多，难以都满足，应该先满足谁？

• 多个目标可能难以同时满足，到底哪个更重要？需要确定优先因子

❑ 模型建立的基本原理：将目标约束转化为偏差变量表示的目标函数和等式约束

❑适用赛题

❑ 生产规划：

使XXX最少/多/利润最大，且尽可能XXX，尽量XXX，在…基础上优化XXX;

❑典型例题

❑ 某工厂生产产品Ⅰ和产品Ⅱ，有关数据如下，

• 1.尽量使产品Ⅰ的产量不超过产品Ⅱ的产量；

• 2.尽可能充分利用设备，但不希望加班

• 3.尽可能使利润不少于56万

❑ 需要衡量每个目标的完成情况，并区分三个目标的重要性，使得整体的完成情况尽量好

• 引入三个概念：正负偏差变量，绝对约束和目标约束，优先因子

❑三个概念

❑ 概念一：正负偏差变量，衡量每个目标的完成情况

❑ 该目标是“尽可能使利润不少于56万”，超了好还是差了好？当然超了好！而且超再多也不怕

• 即正偏差变量是多少，都无所谓；

• 而该目标追求“尽量不少于”，意味着负偏差变量 越小越好

❑ 目标函数（根据偏差变量）

• 第1个目标要求不超过目标值，意味着正偏差变量 越小越好

• 利用优先因子，从题目要求的目标3中获得目标函数：

• 第3个目标要求不少于目标值，意味着负偏差变量越小越好

• 利用优先因子，从题目要求的目标3中获得目标函数：

❑ 第2个目标的子目标

• 第2个目标中其实包含两个子目标： “充分利用设备”和“不希望加班”

• 正偏差变量代表加班时间， 负偏差变量代表没有充分利用设备的时间

• “充分利用设备”意味着总生产时间不少于10，即⩾ 10

• “不希望加班”意味着总生产时间不大于10，即⩽ 10

• 同时满足这两条，就是对这两个子目标取交集，所以目标2写做： = 10

• 所以第2个目标要求等于目标值，意味着正负偏差都尽量小

• 利用优先因子，从题目要求的目标2中获得目标函数：

❑ 第2个目标细化

• 上一页中，目标函数min( + )是基于目标2中的两个子目标重要性相同的前提

• 现实中，“充分利用设备”和“不希望加班”还是存在重要性的差别

• 假如题目中提到“近期订单较多”之类的语句，那么“不希望加班”的重要性就较低

• 此时可给 和再分别赋权重，称为权系数，以区分重要性，例如目标函数改为：

• 意味着“不加班”的重要性较低，让步于“充分利用设备”

• 本课程例题不考虑该类情况，依旧使用min ( + )

• 补充：类似的情况，比如在销售时有“尽量把所有产品都卖完” 的目标，但不同产品利润不一样，现实中当然是先尽量把利润高的卖完，这种目标就可根据利润比来给同一个目标下的不同偏差变量设定权重

❑ 概念二：绝对约束和目标约束

• 绝对约束

是模型中自带的约束条件，必须满足，否则是不可行解

• 例如 ⩽ 11，使用材料的数量不能超过总量（总不能凭空变出来材料吧）

❑ 目标约束

是模型中对不等式右端追求的值允许有偏差

• 以目标3为例：尽可能使利润不少于56万，也就是