矩阵理论--矩阵分解

矩阵理论–矩阵分解

矩阵的三角分解、谱分解、最大秩分解、奇异值分解的操作步骤，以及相关说明。

1、QR分解

（1）非奇异方阵

方阵（非奇异）：将方阵分解成酉矩阵左乘正线上三角，或者酉矩阵右乘正线下三角。

1. 分解步骤：
   1. 列分块得n个列向量构成的向量组；
   2. 将n个列向量施密特正交单位化；
   3. 用标准正交基表出该向量组；
   4. 写成矩阵相乘的形式，即得三角分解。
2. 施密特正交化-单位化：
   1. B1 = A1/|A1|；
   2. B2 = [A2-(A2,B1)B1]/|A2-(A2,B1)|;
   3. B3 = [A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1]/|A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1|;
3. 反过来表出：记k11=|A1|,k22 = |A2-(A2,B1)|,k12=(B1,A2)
   1. A1 = k11B1;
   2. A2 = k12B1+k22B2;
   3. A3 = k13B1+k23B2+k33B3;
   4. A = [A1,A2,A3] = [B1,B2,B3][k11,k12,k13; 0,k22,k23;0,0,k33]

（2）满秩的高矩阵、宽矩阵

1. 列满秩矩阵，列分块，添加列向量，补成一个方阵（非奇异），再按方阵的方式分解，将得到一个方形的酉矩阵左乘（正线上三角；0）
2. 行满秩矩阵，行分块，添加行向量，补成一个方阵（非奇异），再按方阵的方式分解，将得到一个方形的酉矩阵右乘（正线下三角，0）

（3）其它矩阵

奇异矩阵，非满秩的高矩阵、宽矩阵，可以分解为 U ∣ L 0 0 0 ∣ V U

$$\begin{vmatrix}L&0\\0&0\end{vmatrix}$$ V U ​L0​00​ ​V，U、V是两个方形酉矩阵（不一定同阶）。

分解步骤

2、谱分解

谱是指矩阵的所有特征根构成的集合，表示为