Kruskal，346. 走廊泼水节

346. 走廊泼水节 - AcWing题库

346. 走廊泼水节

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给定一棵 N 个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。

求增加的边的权值总和最小是多少。

注意： 树中的所有边权均为整数，且新加的所有边权也必须为整数。

输入格式

第一行包含整数 t，表示共有 t 组测试数据。

对于每组测试数据，第一行包含整数 N。

接下来 N−1行，每行三个整数 X,Y,Z，表示 X 节点与 Y 节点之间存在一条边，长度为 Z。

输出格式

每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤6000
1≤Z≤100

输入样例：

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

输出样例：

4
17 

 解析：

做法：初始时先将每一个点看成一个大小为1的连通块，这个连通块就可以看成一个完全图(因为只有一个点)
做Kruskal算法，在每循环到一条可以合并两个连通块的边e时，记e的边长为w,为了形成一个完全图，就要使得两个已经是完全图的连通块中的点有边，但是为了使最后的唯一最小生成树还是原来那棵而且，新增的边一定要大于w：

假设新边小于w，因为新增边后会成环，当断开边e，形成的树大小会变小，即不是原来那棵，所以不成立

假设新边等于w，同样的断开e，会形成一个大小一样但结构不一样的树，不满足唯一，所以也不成立。

所以只要在每次新增e的时候，给两个连通块内的点增加w+1长的边即可。

 每次新增的边数为s[x]*s[y]-1;

边权为：w+1

所以ans += (s[x] * s[y] - 1)*(w+1);

 这里可能会疑惑：当原先的路径与新建的路径的组成环后，若原来的路径大于新增的路径，不就有新的最小生成树路吗？

实际上这种情况不会发生，因为我们时从小到大处理，可以保证W为此时最大的边，所以新增的边w+1一定是环中最大的边

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 6e3 + 5;
struct edge {
	int a, b, w;
	bool operator < (const edge& t) {
		return w < t.w;
	}
}e[N];
int n;
int fa[N], s[N];
 
int find(int a) {
	if (fa[a] == a)return a;
	return fa[a] = find(fa[a]);
}
 
int main() {
	int T;
	cin >> T;
	while (T--) {
		cin >> n;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			scanf("%d%d%d", &e[i].a, &e[i].b, &e[i].w);
		}
		sort(e + 1, e + n);
		for (int i = 1; i <= n; i++)fa[i] = i, s[i] = 1;
		LL ret = 0;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			int a = find(e[i].a), b = find(e[i].b), w = e[i].w;
			if (a != b) {
				ret += (s[b] * s[a] - 1) * (w + 1);
				s[b] += s[a];
				fa[a] = b;
			}
		}
		cout << ret << endl;
	}
	return 0;
}

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 6e3 + 5;
int n;
struct edge {
	int a, b, w;
}edge[N];
int fa[N],s[N];
 
int cmp(const struct edge& a, const struct edge& b) {
	return a.w < b.w;
}
 
int find(int x) {
	if (fa[x] == x)
		return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
 
int main() {
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) {
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			scanf("%d%d%d", &edge[i].a, &edge[i].b, &edge[i].w);
		}
		sort(edge + 1, edge + n, cmp);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			fa[i] = i;
			s[i] = 1;
		}
		LL ans = 0;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			int x = find(edge[i].a);
			int y = find(edge[i].b);
			if (x != y) {
				fa[x] = y;
				ans += (s[x] * s[y] - 1)*(edge[i].w+1);
				s[y] += s[x];//这里的y与x的位置不能交换
			}
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}