LeetCode 983. 最低票价（动态规划+记忆化搜索）_leecode 983

1.题目

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 days 的数组给出。每一项是一个从 1 到 365 的整数。

火车票有三种不同的销售方式：

• 一张为期一天的通行证售价为 costs[0] 美元；
• 一张为期七天的通行证售价为 costs[1] 美元；
• 一张为期三十天的通行证售价为 costs[2] 美元。

通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

返回你想要完成在给定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

示例 1：

输入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出：11
解释： 
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。
示例 2：

输入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
输出：17
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。 
你总共花了 $17，并完成了你计划的每一天旅行。
 

提示：

1 <= days.length <= 365
1 <= days[i] <= 365
days 按顺序严格递增
costs.length == 3
1 <= costs[i] <= 1000

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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-cost-for-tickets
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2.题解

动态规划（正向）

维护dp数组，dp[i]其表示的是到今年第i天，所花费的最少总费用总和。

class Solution
{
public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs)
    {
        int dp[366], id = 0;                    //dp[i]其表示的是到今年第i天，所花费的最少总费用总和。
        dp[0] = 0;                              //id为days的下标，便于知道下次旅游时间
        for(int i = 1; i < 366; i++)
        {
            if(id >= days.size())
                break;
            if(days[id] == i)                   //是否是旅游天
            {
                dp[i] = min(min(dp[i - 1] + costs[0], i - 7 > 0 ? dp[i - 7] + costs[1]: costs[1]),i - 30 > 0 ? dp[i -30] + costs[2] : costs[2]);        //为了更新dp[i]为到第i天时最小的花费总和
                id++;
            }
            else
            {
                dp[i] = dp[i-1];                //若不是旅游天则dp[i]为上一天钱数
            }
        }
        return dp[days[days.size()-1]];
    }
};

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以下是官方题解

动态规划（反向）

我们用dp(i) 来表示从第 i 天开始到一年的结束，我们需要花的钱。考虑到一张通行证可以让我们在「接下来」的若干天进行旅行，所以我们「从后往前」倒着进行动态规划。
由于我们是倒着进行动态规划的，因此我们可以使用记忆化搜索，减少代码的编写难度。我们使用一个长度为 366 的数组（因为天数是 [1, 365]，而数组的下标是从 0 开始的）存储所有的动态规划结果，这样所有的dp(i) 只会被计算一次（和普通的动态规划相同），时间复杂度不会增大。

最终的答案记为 dp(1)。

链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-cost-for-tickets/solution/zui-di-piao-jie-by-leetcode-solution/

class Solution
{
    unordered_set<int> dayset;
    vector<int> costs;
    int memo[366] = {0};

public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs)
    {
        this->costs = costs;
        for (int d: days)
        {
            dayset.insert(d);
        }
        memset(memo, -1, sizeof(memo));
        return dp(1);
    }

    int dp(int i)
    {
        if (i > 365)
        {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != -1)
        {
            return memo[i];
        }
        if (dayset.count(i))
        {
            memo[i] = min(min(dp(i + 1) + costs[0], dp(i + 7) + costs[1]), dp(i + 30) + costs[2]);
        }
        else
        {
            memo[i] = dp(i + 1);
        }
        return memo[i];
    }
};


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记忆化搜索

class Solution
{
private:
    vector<int> days, costs;
    vector<int> memo;
    int durations[3] = {1, 7, 30};

public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs)
    {
        this->days = days;
        this->costs = costs;
        memo.assign(days.size(), -1);
        return dp(0);
    }

    int dp(int i)
    {
        if (i >= days.size())
        {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != -1)
        {
            return memo[i];
        }
        memo[i] = INT_MAX;
        int j = i;
        for (int k = 0; k < 3; ++k)
        {
            while (j < days.size() && days[j] < days[i] + durations[k])
            {
                ++j;
            }
            memo[i] = min(memo[i], dp(j) + costs[k]);
        }
        return memo[i];
    }
};


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