线性代数知识点总结（干货满满）

1. 行列式

行列式的定义：n*n个数字排成n行n列，叫做n阶行列式。

行列式的项数：

1. 2阶行列式有2项
2. 3阶行列式有6项
3. 4阶行列式有24项

1.1 余子式与代数余子式

余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的（n－k）×（n－k）矩阵的行列式。

代数余子式：元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。

行列式按行展开

• 行列式的值D = 任意一行（列）元素*自己的代数余子式之和

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异乘变零定理

• 某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0

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拉普拉斯定理（k阶子式）

• k=2
  • 2阶子式：取任意两行两列，交界的元素就是2阶子式
  • 余子式：两行两列之外（剩余）的元素就是余子式
  • 代数余子式：（-1）^（行1+行2+列1+列2）*余子式

拉普拉斯展开定理

• n阶行列式中，任意取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式的乘积之和=行列式的值（D）

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行列式相乘：（同阶行列式）三阶行列式：

• 第一行

  • 第一行元素*第一列元素，元素对应先相乘再相加
  • 第一行元素*第二列元素，…
  • 第一行元素*第三列元素，…

• 第二行

  • 第二行元素*第一列元素，…
  • 第二行元素*第二列元素，…
  • 第二行元素*第三列元素，…

• 第三行

  • 第三行元素*第一列元素，…
  • 第三行元素*第二列元素，…
  • 第三行元素*第三列元素，…

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1.2 行列式计算

• 化成上下三角

• 按行展开

• 制造行和：如图所示行列式

∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|

$$\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix}$$ \right|-> (x+2a)\left| $$\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix}$$ \right| -> (x+2a) \left| $$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix}$$ \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) ​xaa​axa​aax​ ​−>(x+2a) ​111​axa​aax​ ​−>(x+2a) ​111​0x0​00x​ ​(用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和)

• 加边法：不能改变原行列式的值

• 范德蒙德行列式：[范德蒙行列式_百度百科 (baidu.com)]

• 反对称行列式

  • 主对角线全为零 aii=-aii aii=0
  • 对角线对称位置对应成相反数 aij=-aji
  • 如果是奇数阶，则D=0（利用转置性质）

• 对称行列式

  • 主对角线元素没有要求
  • 对角线对称位置对应成相等 aij=aji

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1.3 克莱姆法则

方程的个数等于未知量的个数

• n个方程，n个未知量

• D !=0 ： Xi= Di/D

• Di 表示的是把系数行列式中第 i 列的元素用 常数项列 替代

定理与推论：

• 定理1：系数行列式D不等于0，则方程组有唯一解，解为：x1=D1/D,x2=D2/D …

  • 推论1：线性方程组无解或者有多组不同的解，系数行列式D=0

• 定理2：齐次线性方程组的系数行列式 D!=0，则齐次线性方程组只有零解

  • 齐次线性方程组有非零解的充要条件 <==> D=0

简单来说：

1. D!=0 ，只有零解
2. D=0，有非零解

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2. 矩阵

2.1 矩阵的运算

2.1.1 加法运算

• 同型矩阵才能相加减

• 对应行对应列的元素相加即可

2.1.2 数乘运算

• 把矩阵的每一个元素都乘以k
• 矩阵的加减法与矩阵的数乘运算统称为矩阵的线性运算

2.1.3 矩阵的乘法

定义： 设A=(aij)ms， B=(bij)s * n ,则C=(cij)mn=AB

• 只有当左边矩阵A的行数等于右边矩阵B的列数才能做乘法运算。

• 相乘后，结果矩阵的行数等于左边矩阵A的行数，列数等于右边矩阵B的列数。

• 矩阵cij的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B第j列元素相乘后相加。

• 矩阵乘法与普通乘法运算规则不同

• 若矩阵满足AB=BA，则A和B是可交换的，仅当A和B可交换时，才满足交换律，结合律等数学公式

2.1.4 矩阵的幂运算

• 将k个Aij连乘即为A的k次幂

2.2 矩阵的转置

• 将矩阵Aij转换为Aji，即行列互换即为A的转置
• （AB）的转置 = B转置*A转置
• A的转置等于A，则A是对称矩阵
• A的转置等于-A，则A是反对称矩阵

2.3 方阵的行列式

• N阶方阵的所有元素（Aij）n*n 按照原来的位置构成的的行列式，称为方阵A的行列式，记作 |A|或者 detA
• 方阵行列式：是一个数；方阵：是一个数表
• 方阵行列式的性质
• A的n阶方阵，若|A|!=0，则A为非奇异矩阵，当 |A|=0，则A为奇异矩阵

2.4 伴随矩阵

• A=（aij）n*n 是n阶方阵，则行列式 |A|中的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵

• A*在（i，j）上的位置元素等于 A在 （j，i）上的位置的元素的代数余子式！！！！！！！

• 伴随的一般求法：

  • 二阶矩阵的伴随： 对角线元素互换，反对角线添负号
  • 三阶矩阵的伴随：将矩阵转置后求代数余子式

• A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则满足： AA *=A *A=|A|E

2.5 逆矩阵

• 对于n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。记作A-1=B
• 单位矩阵E是可逆的，它的逆矩阵等于自身，零矩阵不是可逆矩阵

2.5.1 逆矩阵性质

• 若方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的： 若B，C都是A 的逆矩阵，则AB=AC=E，B=BE=B(AC)=C(AB)=CE，所以 A=B
• AB=E，则AB均可逆，A-1=B，B-1=A，判断A是不是B的逆矩阵：判断AB=E
• 方阵A可逆，则|A|!=0，且|A-1|=1/|A|，判断A是否可逆，则仅需判断 |A|！=0 ，|A|！=0 <==> A可逆
• 方阵A可逆，则A-1也可逆，则（A-1）-1=A
• 方阵A可逆，且k！=0，则 （kA）-1= 1/k *（A-1）
• 方阵A可逆，则A转置也可逆，（A转置）-1=（A-1）转置
• AB是同阶可逆矩阵，AB也可逆，则（AB）-1=B-1* A-1

2.5.2 逆矩阵的求法

• 根据伴随矩阵（求低阶方阵逆矩阵） 若A是非奇异矩阵（|A|不等于0，则A是可逆的），则A-1=1/|A| * A伴随

2.5.3 逆矩阵的应用

• 对于一个线性方程组： A是系数矩阵，B是常系数矩阵，X是未知数矩阵，因此线性方程组用矩阵表示为AX=B，因此求线性方程组的解，可以转换为求相应矩阵的解

2.6 矩阵的初等变换

性质

1. 交换矩阵的 第 i 行（列）与第 j 行（列）
2. 非零常数 k 乘以 矩阵的第 i 行（列）
3. 矩阵的第 j 行乘以 k倍 加到第 i 行上去

矩阵的初等行或者列变换统称为 矩阵的初等变换

• 矩阵A经过有限次初等变换变成B，则A与B等价
  • 反身性
  • 对称性
  • 传递性
• 矩阵的左上角为一个单位矩阵，其余元素都是零，则该矩阵为标准型矩阵
  • 任何一个非奇异矩阵，经过有限次初等行变换都能变成单位矩阵 E
  • 推论：矩阵A可逆的充要条件使它与单位矩阵E等价

行变换转换为标准型矩阵的一般步骤:

1. 行变换 转换为 行阶梯型矩阵
2. 行阶梯形矩阵 转换为 行最简
3. 行最简 列变换转换为标准型

单位矩阵的行数等于行阶梯非零行的行数

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2.6.1 初等矩阵

三种初等变换：

1. 交换第 i 行 与第 j 行
2. 非零常数乘以 第 i 行
3. 第 j 行乘以k 加到第 i 行上去

性质：

1. 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵也是同类型的初等矩阵
2. 初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵
3. 对一个矩阵A施行一次初等行变换等于对 A左乘一个m阶单位矩阵；对矩阵A施行一次初等列变换相当于对A右乘一个n阶单位矩阵

2.7 初等变换的应用

2.7.1 求逆矩阵

• 对矩阵 A 与 E做相同的初等变换等于对矩阵A 做初等行变换化为单位矩阵E时，E就变成了A的逆矩阵A-1（单位矩阵E乘以任何矩阵A，都等于矩阵A本身）

$$(A,E)->(E,A^{-1})$$

初等列变换也是同理

2.1.2 求解矩阵方程

在矩阵A，B，C均可逆的前提下：

1. AX=B，则 X=A-1B
2. XA=B，则 X=BA-1
3. AXB=C，则 X=A-1CB-1

• 对矩阵 A 与 E做相同的初等变换等于对矩阵A 做初等行变换化为单位矩阵E时，E就变成了A的逆矩阵A-1

$$(A,B){-}^{初等行变换}->(E,A^{-1}B)$$

初等列变换也是同理

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2.9 行最简矩阵与矩阵的秩

2.9.1 行最简矩阵

行阶梯形矩阵：

1. 零行位于所有非零行的下面。
2. 首非零元前面零的个数一定逐行严格增加

行最简型矩阵：

1. 行阶梯形矩阵经过初等行变换使得 每一行的首非零元全部变为1，且他们所在列的其他元素都是 0，则成这样的矩阵为 行最简型矩阵

2.9.2 矩阵的秩

定义：在矩阵A中，不为零子式的最高阶数称为A的秩，r（A）=min（m，n），则A为满秩矩阵，否则为降秩矩阵

性质：

• 任意矩阵A与秩满足： 0<=r(A)<=min(m,n)

• 矩阵A可逆，则|A|不为零，则与 r（A）=n 形成充分必要条件，矩阵A为满秩矩阵

  • n阶方阵可逆的充要条件：r(A)=n

• 行阶梯形矩阵的秩等于它非零行的行数或者首非零元的个数

求矩阵秩的一般方法：用初等变换将矩阵转换为阶梯型矩阵

关于秩的相关结论：

1. 矩阵A的 n 阶子式全为0，则 r(A)<n
2. 矩阵A的 n 阶子式全不为0，则 r(A)>=n
3. 若矩阵A与B等价，则 r(A)=r(B)
4. 若矩阵Q，P可逆，则 r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)

2.9.3 分块矩阵

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3. 向量组的线性相关性

向量的线性运算

线性方程组的向量形式： a1x1+a2x2+a3x3+ … a4x4=B，借助向量可以讨论线性方程组

3.1 向量组的线性关系

3.1.1 线性组合与线性表示

定义：设 n维向量组 a1，a2，a3 ，B

1. 若k1，k2，k3为任意一组常数，则称 k1a1+k2a2+k3a3…+k4a4为向量组 a1+a2+a3的一个线性组合

2. 若k1，k2，k3为任意一组常数，使得 B=k1a1+k2a2+k3a3+…knan成立，则称B可由向· 量组线性表示

向量B是否可由a1,a2,a3,an线性表示的方法：判断线性方程组k1a1+k2a2+knan是否有解

3.1.2 线性相关与线性无关

1. 若存在一组不全为零的数 k1,k2,k3,kn 使得 k1a1+k2a2+…+knan =0 成立，则称a1,a2,a3是线性相关的
2. 当且仅当 k1,k2,k3,kn 全为零 使得 k1a1+k2a2+…+knan =0 成立，则称a1,a2,a3是线性无关的

简单来说：

1. 线性相关：有非零解
2. 线性无关：只有零解

判断一个向量组的线性关系的方法：

1. 令 k1a1+k2a2+…+knan =0，求出 k1,k2,k3的值
2. 如果全为零：线性无关；不全为零：线性相关

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3.1.3 线性相关性结论(重要)

• s个n维 即n*s形式的矩阵： 线性方程组线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解，线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解
  • n个n维 即方阵：向量组线性相关的充要条件是行列式的值为0；线性无关的充要条件是行列式的值不为0.
  • 向量组所含向量的个数大于维数，向量组一定线性相关

1. 方阵形式：直接判断行列式的值是否为零，线性相关D为0，线性无关D不为0
2. 行数大于列数的矩阵：判断齐次线性方程组的解，线性相关有非零解，线性无关只有零解
3. 列数大于行数的矩阵：向量个数大于维数，一定线性相关

• 向量组 a1 a2 am线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其余m -1 个向量线性表示
  • 向量组 a1 a2 am线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余m -1 个向量线性表示
• 若向量组 a1 a2 am线性无关，而向量组 a1 a2 a3 B线性相关，则 B可由 a1 a2 a3 线性表示，且表达式唯一
• 若部分线性相关，则整个向量组也线性相关
  • 若整体线性无关，则任意一个部分也线性无关
• 如果n维向量组 a1 a2 an线性无关，则在每一个向量上都添加 m 个分量，得到的 n+m 维接长的向量组也线性无关
  • 如果n维向量组 a1 a2 an线性相关，则在每一个向量上都减去 m 个分量，得到的 n-m 维截断的向量组也线性相关

3.2 向量组的秩

3.2.1 向量组的极大无关组

定义：设向量组T： a1 , a2 , a3 … an 中有一部分向量组 a1 a2 a3 ar （r<n）满足

1. a1 a2 a3 ar线性无关
2. 在向量组T中除去（1-r）任取一个向量 ai，满足 a1 a2 a3 ar，ai 线性相关，则称 a1 a2 a3 ar是向量组T的一个极大线性无关组。简称为极大无关组

根据上节的结论:

若向量组 a1 a2 am线性无关，而向量组 a1 a2 a3 B线性相关，则 B可由 a1 a2 a3 线性表示，且表达式唯一

可得：向量组T中任意向量 ai 都可由 a1 a2 a3 ar线性表示

极大无关组不一定是唯一的，只含零向量的向量组没有极大无关组

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定义2：设有两个向量组1，2，向量组2中的每一个元素都可由向量组1线性表示，则称向量组2可由向量组1线性表示，否则称不可线性表示。

• 若两个向量组1和2可以互相线性表示，则称他们等价

定理：

• 若向量组1可以由向量组2线性表示，且向量组1的元素个数大于向量组2的元素个数，则向量组1线性相关

3.2.2 向量组的秩的定义

定义： 向量组T的极大无关组所包含向量的个数，称为向量组的的秩

定理：

• 向量组 a1 a2 as线性无关的充要条件是 r(a1 a2 as)=s，即它的秩等于它所包含的向量的个数
• 相互等价的向量组的秩相等
• 如果两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价

1. 秩的个数等于向量的个数，线性无关
2. 秩的个数小于向量的个数，线性相关

行向量组与列向量组：

• 行向量组的秩为行秩，列向量组的秩为列秩
• 行秩=列秩=矩阵的秩

求向量组极大无关组的方法：先将列向量组构成矩阵A，然后对A实行初等行变换，把A化为行最简型矩阵，由行最简型矩阵列之间的关系，确定原向量组间的线性关系，从而确定极大无关组。

3.3 *向量空间

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4. 线性方程组

阶梯型方程组：对线性方程组做初等变换所得到的就是阶梯型方程组

• 系数矩阵：由未知数的系数所构成的矩阵称为线性方程组的系数矩阵
• 线性方程组的系数和常数项所构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵

4.1 消元法解线性方程组

1. 就是对方程组的增广矩阵做初等行变换，化为阶梯型矩阵，从而得到方程组的解

2. 对增广矩阵化为行最简型矩阵，更容易求解

有无解的判定：

增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩 = 未知量的个数，则方程组 Ax=b 具有唯一解

增广矩阵的秩 不等于 系数矩阵的秩，则方程组Ax=b无解，存在一行，满足系数项全为零，而常数项不为零

4.2 非齐次线性方程组解的判定

• 线性方程组 Amn * X=b 有解的 充要条件 是 r（A，b）= r（A）
• 当线性方程组 Amn * X=b 有解时：r 为秩，n为系数项数，即未知量的个数
  • 若 r（A，b）= r（A）=r = n，方程组有唯一解
  • 若 r（A，b）= r（A）=r < n，方 程组有无穷多解
• 同理， Amn * X =b 无解的充要条件是 r（A，b）!=r（A）

4.3 齐次线性方程组解的判定

齐次线性方程组一定满足：r（A，b）=r（A）

• 齐次线性方程组Amn * X=0 只有零解的充要条件是 r（A）= n
• 齐次线性方程组Amn * X=0 有非零解的充要条件是 r（A）< n（有非零解即为无穷多解）

4.4 齐次线性方程组的解的结构

解向量的概念

若齐次线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个n维向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

• 定理1：如果齐次线性方程组Amn * X=0 的系数矩阵A的秩 r（A）= r < n，则Amn * X=0 的基础解系中有 n-r个解向量

• 齐次线性方程组的基础解系求解

• 非齐次线性方程组的基础解系求解

4.5 非齐次线性方程组的解的结构

非齐次线性方程组的解的结构为：非齐次线性方程组的特解 + 齐次线性方程组的通解。

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求线性方程组通解的一般步骤

齐次线性方程组：

1. 对于增广矩阵化简为 行最简型矩阵
2. 判断解的情况并且得到解向量的个数=n-r
3. 通过行最简矩阵得到自由未知量，首非零元与自由未知量确定方程，求方程解，得到各个未知量的解，并且得到每一个基础解系
4. 通解为 各个基础解系的k倍和

非齐次线性方程组：

1. 步骤与上面基本一致，但是通解为：特解 + 导出组（导出组指的是常数项为0）的基础解系

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5. 矩阵相似与对角化

5.1 特征值与特征向量

定义1：设A=（aij）nn为n阶实方阵，如果存在某个非零 r 和某个n维非零列向量 p 满足： Ap=rp，则 r 是A 一个特征值，p是A的属于特征值为r 的一个特征向量

定义2：带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；它的行列式称为A的特征多项式；|rE-A|=0称为A的特征方程

求解特征值与特征向量的方法：

• n阶实方阵的特征值就是它的特征方程的n个根
• 任意取定一个特征值，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组（rE-A）x=0 的所有非零解

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5.2 特征值与特征向量的若干结论

1. 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量

2. 上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素

3. 一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量

4. n阶方阵和它的转置具有相同的特征值

5. r1 r2 r3 为A的全体特征值则必有：即特征值之和等于对角线元素之和（迹），特征值之积等于行列式的值

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=tr(A)\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$$

6. 只要 r 是A的特征值，那么 f® 一定是 f(A) 的特征值

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5.2.1 求特征值和特征向量的一般方法

步骤：

1. 求出特征值，检查特征值之和是否等于行列式对角线元素之和，即迹，特征值之积是否等于行列式的值。

2. 属于特征值的特征向量全体是 …

5.3 相似矩阵与可对角化的条件

定义1： A与B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B

相似矩阵具有对称性，传递性，反身性

两矩阵相似的特征：

1. 相同的特征值
2. 相同的行列式值
3. 迹相等，即对角线元素之和相同
4. 秩相同

5.3.1 矩阵可对角化

定理3：n阶方阵相似于n阶对角矩阵的充要条件：A有n个线性无关的特征向量

推论：如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 r1 r2 r3 r4 … rn，则A与对角矩阵 相似，并且对角矩阵的对角线元素为 r1 r2 r3 r4 … rn。

n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于A的每一个n重特征值，齐次线性方程组（rE-A）x=0 的基础解系中恰含n个向量

5.4 向量的内积与正交矩阵

5.4.1 内积

概念：两个矩阵的对应元素相乘再相加，得到的一个数值，是两个矩阵的内积，记作：[A，B]

• 施瓦茨不等式

定义2**：向量的内积开根号 叫做向量的长度，向量的长度用||A||表示**，例如：a=(a1,a2,a3) ， ||a||=根号下[a,a]，

• 若 ||a||=1，称a为单位向量

5.4.2 正交向量组

定义：若[a,b]=0，则向量a，b正交

由非零向量两两正交组成的向量组称为正交向量组

• 正交向量组内每一个ai一定是线性无关的

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施密特正交化：正交化 -> 单位化

6. 二次型

含n个变量的 二次齐次多项式称为一个n元二次型，简称二次型

• 令A为一个实对称矩阵，二次型式用矩阵表示为 f=x^T Ax
  • A称为二次型f的矩阵，对称阵A的秩为二次型f的秩
  • 二次型与对称阵具有一一对应的关系，一个二次型f由其对应的实对称矩阵A唯一确定。当给定了二次型f后，便可以确定其对应的实对称矩阵A
    • A的对角线元素为：aii为xi ^2项的系数
    • A的其他元素为： aij = aji 为 xij 项的系数的 1/2

6.1 可逆变换

若C 是可逆矩阵，x=Cy为可逆线性变换；若C是正交矩阵，则x=Cy为正交线性变换

定义： 如果A，B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 CT A C =B，则称A与B合同

• 如果A为对称矩阵，AB合同，则B也为对称矩阵
• A与B合同，则R（A）=R（B）
• 合同具有传递性

6.2 二次型的标准型

定义：只含平方项的 二次型称为二次型的标准型

正交变换法化二次型为标准型的方法：

1. 写出二次型的矩阵A，求其特征值
2. 求出特征值对应的特征向量，并且将他们正交单位化
3. 将正交单位化后的特征向量依次作为列向量构成正交矩阵P。
4. 做正交变换 x=Py，得二次型的标准型

正交单位化的时候：

1. 如果对应不同的特征值，所以他们正交，直接单位化即可
2. 如果对应相同的特征值，所以要首先正交化，然后再单位化

6.2.1 配方法化二次型为标准型

6.2.2 初等变换化二次型为标准型

6.3 正定二次型

判别方法：f=xT A x正定的充要条件是 矩阵A的特征值都是正数

实对阵矩阵A正定的充要条件是 A的各阶顺序子式都大于0

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待完善 ~~~