主子式大于等于零的矩阵是半正定矩阵的证明方法之二_证明对称矩阵半正定

命题

主子式大于等于零的实对称矩阵是半正定矩阵。
即：对于任意的 $n \in \mathbb N ^+,$ 对于任意一个实对称矩阵 $A_{n \times n},$ 若它的的任意一个主子式 $\ge 0,$ 则 $X ^ \intercal A X \ge 0, \forall X \in \mathbb R ^n$ 。

证明

$n = 1$ 时， 对于任意一个实对称矩阵 $A_{1 \times 1},$ $a_{11} = \left \vert A \right \vert \ge 0,$ 因此 $a_{11} x ^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb R$ 。命题成立。
假设 $n$ 时命题成立。则 $n + 1$ 时，
记 $A = \begin{pmatrix} A_1 & \alpha \\ \alpha ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix},$
$A_{n + 1 \times n + 1}$ 的任意一个主子式 $\ge 0,$ 因此 $a_{n + 1, n + 1} \ge 0$ 。
若 $a_{n + 1, n + 1} = 0,$ 则对于任意的 $i \in \mathbb N, 1 \le i \lt n + 1,$
$\begin{vmatrix} a_{i,i} & a_{i,n + 1} \\ a_{n + 1,i} & a_{n + 1,n + 1} \end{vmatrix} = a_{i,i} a_{n + 1,n + 1} - a_{i,n + 1} a_{n + 1,i} = -{a_{i,n + 1} }^2,$
由于 $\begin{vmatrix} a_{i,i} & a_{i,n + 1} \\ a_{n + 1,i} & a_{n + 1,n + 1} \end{vmatrix} \ge 0,$ 因此 $a_{i,n + 1} = a_{n + 1, i} =0,$ 于是 $A = \begin{pmatrix} A_1 & \vec 0 \\ {\vec 0} ^ {\intercal} & 0 \end{pmatrix},$
令