数据结构—图—最小生成树_数据结构最小生成树

什么是最小生成树

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 [1]  最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。 

 

2、普里姆算法—Prim算法

算法思路：
首先就是从图中的一个起点a开始，把a加入U集合，然后，寻找从与a有关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点b在顶点集合：（V-U）中，我们也把b加入到集合U中，并且输出边（a，b）的信息，这样我们的集合U就有：{a,b}，然后，我们寻找与a关联和b关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点在集合：（V-U）中，我们把c加入到集合U中，并且输出对应的那条边的信息，这样我们的集合U就有：{a,b,c}这三个元素了，一次类推，直到所有顶点都加入到了集合U。

下面我们对下面这幅图求其最小生成树：

假设我们从顶点v1开始，所以我们可以发现（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1:

然后，我们要从v1和v3作为起点的边中寻找权重最小的边，首先了（v1,v3）已经访问过了，所以我们从其他边中寻找，发现(v3,v6)这条边最小，所以输出边就是：v3—v6=4

然后，我们要从v1、v3、v6这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，我们可以发现边(v6,v4)权重最小，所以输出边就是：v6—v4=2.

然后，我们就从v1、v3、v6、v4这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5

然后，我们就从v1、v3、v6、v4，v2这2五个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以输出边：v2—–v5=3

最后，我们发现六个点都已经加入到集合U了，我们的最小生成树建立完成。

时间复杂度

通过邻接矩阵图表示的简易实现中，找到所有最小权边共需O（V）的运行时间。使用简单的二叉堆与邻接表来表示的话，普里姆算法的运行时间则可缩减为O(ElogV)，其中E为连通图的边数，V为顶点数。如果使用较为复杂的斐波那契堆，则可将运行时间进一步缩短为O(E+VlogV)，这在连通图足够密集时（当E满足Ω（VlogV）条件时），可较显著地提高运行速度。 

代码实现：

#define MAXN 1000
#define INF 1<<30
int closest[MAXN],lowcost[MAXN],m;//m为节点的个数
int G[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
int prim()
{
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        lowcost[i]=INF;
    }
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        closest[i]=0;
    }
    closest[0]=-1;//加入第一个点，-1表示该点在集合U中，否则在集合V中
    int num=0,ans=0,e=0;//e为最新加入集合的点
    while(num<m-1)//加入m-1条边
    {
        int micost=INF,miedge=-1;
        for(int i=0; i<m; i++)
            if(closest[i]!=-1)
            {
                int temp=G[e][i];
                if(temp<lowcost[i])
                {
                    lowcost[i]=temp;
                    closest[i]=e;
                }
                if(lowcost[i]<micost)
                    micost=lowcost[miedge=i];
            }
        ans+=micost;
        closest[e=miedge]=-1;
        num++;
    }
    return ans;
}

应用实例：畅通工程之局部最小花费问题

 

Kruskal—克鲁斯卡算法

算法思路：
（1）将图中的所有边都去掉。
（2）将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环
（3）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

这里同样我们给出一个和Prim算法讲解中同样的例子，模拟克鲁斯卡算法生成最小生成树的详细的过程：

首先完整的图如下图：

然后，我们需要从这些边中找出权重最小的那条边，可以发现边（v1，v3）这条边的权重是最小的，所以我们输出边：v1—-v3=1

然后，我们需要在剩余的边中，再次寻找一条权重最小的边，可以发现边（v4，v6）这条边的权重最小，所以输出边：v4—v6=2

然后，我们再次从剩余边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以可以输出边：v2—v5=3，

然后，我们使用同样的方式找出了权重最小的边：（v3，v6），所以我们输出边：v3—v6=4

好了，现在我们还需要找出最后一条边就可以构造出一颗最小生成树，但是这个时候我们有三个选择：（v1,V4），（v2，v3），（v3，v4）,这三条边的权重都是5，首先我们如果选（v1，v4）的话，得到的图如下：

我们发现，这肯定是不符合我们算法要求的，因为它出现了一个环，所以我们再使用第二个（v2，v3）试试，得到图形如下：

我们发现，这个图中没有环出现，而且把所有的顶点都加入到了这颗树上了，所以（v2，v3）就是我们所需要的边，所以最后一个输出的边就是：v2—v3=5
 

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
struct EdgeNode
{
    int v1;
    int v2;
    int value;
    bool operator<(const EdgeNode &a) const
    {
        return a.value<value;
    }
};
int *root;
priority_queue<EdgeNode> pq;
int Find(int x)
{
    int i=x;
    while(i!=root[i])
        i=root[i];
    while(i!=root[x])
    {
        temp=root[x];
        root[x]=i;
        x = temp;
    }
    return i;
}
void Union(int a,int b)
{
    a=Find(a);
    b=Find(b);
    if(a!=b)
        root[a]=b;
}
void Kruskal()
{
    EdgeNode b;
    cout<<"加入最小生成树中的边依次为: "<<endl;
    while(!pq.empty())
    {
        b=pq.top();
        pq.pop();
        if(Find(b.v1)!=Find(b.v2))
        {
            cout<<b.v1<<"----"<<b.v2<<endl;
            Union(b.v1,b.v2);
        }
    }
}
void main()
{
    int n=0;
    int m=0;
    cout<<"请输入图中点的个数: "<<endl;
    cin>>n;
    root=new int [n+1];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        root[i]=i;
    cout<<"请输入图中边的条数: "<<endl;
    cin>>m;
    EdgeNode a;
    cout<<"请依次输入每条边的两个顶点及其权重: "<<endl;
    while(m--)
    {
        cin>>a.v1>>a.v2>>a.value;
        pq.push(a);
    }
    Kruskal();
}

实例：畅通工程之最低成本建设问题