【matlab】李雅普诺夫稳定性分析

目录

引言

一、基本概念

二、李雅普诺夫稳定性分析方法

1. 第一方法（间接法）

2. 第二方法（直接法）

三、应用与发展

matalb代码

对称矩阵的定号性(正定性)的判定

线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性

线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性

引言

李雅普诺夫稳定性分析是俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年创立的用于分析系统稳定性的理论。该理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。以下是对李雅普诺夫稳定性分析的基本介绍：

一、基本概念

1. 标量函数的定号性
   • 正定（半正定）：若V(0)=0，且对任意非零x，V(x)>0（≥0），则称标量函数V(x)正定（半正定）。
   • 负定（半负定）：类似地，若V(x)<0（≤0），则称标量函数V(x)负定（半负定）。
   • 非负定（非正定）：正定和半正定（负定和半负定）统称为非负定（非正定）。
   • 不定：无任何定号性的称为不定。
2. 实对称矩阵的正定性
   • 定理：实对称矩阵A是正定（半正定）的，当且仅当所有特征值均大于（大于等于）零；或者所有主子式均大于（大于等于）零。
3. 李雅普诺夫稳定性
   • 平衡状态：对于系统，满足f(x)=0的状态x称作系统的平衡状态或平衡点。
   • 稳定性：若对于任意给定正实数ε，都存在δ，使得从满足不等式|x0|≤δ的任意初始状态出发的系统运动，满足|x(t)|≤ε（t≥0），则称系统的平衡状态是（在李雅普诺夫意义下）稳定的。
   • 渐近稳定：若平衡状态不仅是李雅普诺夫稳定的，还存在一个邻域（吸引域），从该邻域内出发的运动都会渐进地收敛到平衡点，则称平衡状态是渐近稳定的。
   • 全局渐近稳定：若渐近稳定且吸引域充满整个状态空间，则称平衡状态是全局渐近稳定的。

二、李雅普诺夫稳定性分析方法

1. 第一方法（间接法）

• 原理：将系统的描述在平衡点附近进行线性化，针对线性化模型进行稳定性判断，判断雅克比矩阵A的特征值的实部。
• 稳定性判别定理：
  • 若A的特征值均具有负实部，则系统是渐近稳定的；
  • 若存在特征值具有正实部，则系统是不稳定的；
  • 其他情况，则不能判定。

2. 第二方法（直接法）

• 原理：直接构造一个正定的标量函数V(x)（能量函数），通过判断该函数沿系统状态轨线对时间的导数V'(x)的定号性来判别系统平衡状态的稳定性。
• 稳定性判别定理：
  • 若V(x)正定，V'(x)负定，则原点是渐近稳定的；
  • 若V(x)正定，V'(x)半负定，且V'(x)在原点外不恒为零，则原点是渐近稳定的；
  • 若V(x)正定，V'(x)半负定，但V'(x)在原点外恒为零，则原点是稳定的；
  • 若V(x)正定，V'(x)不定，则不能判定稳定性。

三、应用与发展

李雅普诺夫稳定性理论自提出以来，一直是指导系统稳定性研究的重要工具。特别在非线性系统稳定性分析方面，该理论显示了其独特的优越性。随着研究的深入，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性，如度量空间中不变集合的稳定性、大系统或多级系统的稳定性等。

总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种重要的系统稳定性分析方法，它提供了从能量角度判断系统稳定性的新思路，并在实际应用中得到了广泛的验证和应用。

=[1 -1 -1; -1 3 2; -1 2 -5];
result_state=posit_def(P);    % 采用合同变换法判定矩阵定号性
switch  result_state(1:5)       % 运用开关语句,分类陈述矩阵正定否的判定结果 
    case 'posit'
        disp('The matrix is a positive definite matrix.')
    otherwise
        disp('The matrix is not a positive definite matrix.')
end 

function sym_P=posit_def(P)
[m,n]=size(P);
if n>1
   for i=1:n-1
      for j=i:n       dia_v(j)=abs(P(j,j));      end
      [mindv,imin]=max(dia_v(i:n));
      imin=imin+i-1;
      if mindv>0
         if imin > i
            a=P(imin,:);  P(imin,:)=P(i,:);  P(i,:)=a;
            b=P(:,imin);  P(:,imin)=P(:,i);  P(:,i)=b;    
         end
         for j=i+1:n
            x=P(i,j)/P(i,i);
            P(:,j)=P(:,j)-P(:,i)*x; P(j,:)=P(j,:)-P(i,:)*x;
         end
      end
   end
end
for i=1:n
    dia_vect(i)=P(i,i);
end
mindv=min(dia_v);  maxdv=max(dia_v);
if mindv>0
    sym_P='positive';
elseif mindv>=0
    sym_P='nonnegat';        
elseif maxdv<0
    sym_P='negative';        
elseif maxdv<=0
    sym_P='nonposit';        
else
    sym_P='undifini';       
end 

A=[0 1; -1 -1];
Q=eye(size(A,1));                % 取Q矩阵为与A矩阵同维的单位矩阵
P=lyap(A,Q);                       % 解李雅普诺夫代数方程,得对称矩阵解P
P_eig=eig(P);                       % 求P的所有特征值
if min(P_eig)>0                   % 若对称矩阵P的所有特征值大于0,则矩阵P正定,
                                                    % 即系统为李雅普诺夫稳定的
    disp(‘The system is Lypunov stable.’)
else                                      % 否则为不稳定
    disp(‘The system is not Lypunov stable.’)
end 

G=[0 1; -0.5 -1];
Q=eye(size(G,1));
P=dlyap(G,Q);
result_state=posit_def(P);
switch  result_state(1:5)
    case 'posit'
        disp('The system is Lypunov stable. ')
    otherwise
        disp('The system is not Lypunov stable.’ )
end