求多边形面积_凹多边形面积公式

计算任意多边形的面积

对于凸多边形，很容易计算，如下图，以多边形的某一点为顶点，将其划分成几个三角形，计算这些三角形的面积，然后加起来即可。已知三角形顶点坐标，三角形面积可以利用向量的叉乘来计算。

 

对于凹多边形，如果还是按照上述方法划分成三角形，如下图，多边形的面积 = S_ABC + S_ACD + S_ADE, 这个面积明显超过多边形的面积。

 

我们根据二维向量叉乘求三角形ABC面积时，利用的是

这样求出来的面积都是正数，但是向量叉乘是有方向的，即 是有正负的，如果把上面第三个公式中的绝对值符号去掉，即 ，那么面积也是有正负的。反应在上面第二个图中，S = S_ABC + S_ACD + S_ADE，如果S_ABC和S_ADE是正的，那么S_ACD是负的，这样加起来刚好就是多边形的面积。对于凸多边形，所有三角形的面积都是同正或者同负。

 

如果我们不以多边形的某一点为顶点来划分三角形而是以任意一点，如下图，这个方法也是成立的：S = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_ODE + S_OEA。计算的时候，当我们取O点为原点时，可以简化计算。                        本文地址

当O点为原点时，根据向量的叉积计算公式，各个三角形的面积计算如下：

 

S_OAB = 0.5*(A_x*B_y - A_y*B_x)   【(A_x，A_y)为A点的坐标】

S_OBC = 0.5*(B_x*C_y - B_y*C_x)

S_OCD = 0.5*(C_x*D_y - C_y*D_x)

S_ODE = 0.5*(D_x*E_y - D_y*E_x)

S_OEA = 0.5*(E_x*A_y - E_y*A_x)

 

代码如下

 

该算法还可以优化一下，对上面的式子合并一下同类项

S = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_ODE + S_OEA =

0.5*(A_y*(E_x-B_x) + B_y*(A_x-C_x) + C_y*(B_x-D_x) + D_y*(C_x-E_x) + E_y*(D_x-A_x))

 

这样减少了乘法的次数，代码如下：

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求多边形的面积

给定多边形的顶点坐标（有序），让你来求这个多边形的面积，你会怎么做？
我们知道，任意多边形都可以分割为N个三角形，所以，如果以这为突破点，那么我们第一步就是把给定的多边形，分割为数个三角形，分别求面积，最后累加就可以了，把多边形分割为三角形的方式多种多样，在这里，我们按照如下图的方法分割：

图1

 

S点作为起始点（点1），a->e依次作为点2,3……。
一个三角形的面积是怎样的呢？
根据线性代数的知识，我们有如下的三角形面积公式，称之为有向面积(signed area)：

将这个行列式以第三列展开可以得到：

这就是以点1、2、3构成的三角形的有向面积（点如果是顺时针给出，有向面积为负，逆时针给出，有向面积为正），那么继续我们的工作，通过三角形的面积公式，来得到多边形的面积公式：
对于图1而言，多边形的面积就是：
S(1->6)=S(1,2,3)+S(1,3,4)+S(1,4,5)+S(1,5,6)
这里我们不免有些疑问，第一，图1所给出的是凸多边形，那这种算法对于非凸多边形是否同样适用呢？比如下面这个最简单的凸多边形的图形：

图2

用刚才的划分方法的话，就会出现一个诡异的问题，那就是有一个三角形出现在了图形的外面，而另外一个又超出了多边形的范围（划分为了Sab，Sbc两个图形），那么这样再用刚才的公式求面积，结果还是正确的么？
S(1->4)=S(1,2,3)+S(1,3,4)
先公布结论，这个式子是正确的，等等，为什么？还记得刚才我提到了那个“有向面积”的概念么？忘了的话，请回头看看加重了的字。
请注意从图中看，Sab点为顺时针排列，Sbc点为逆时针排列，面积从数值上就是从Sab这个超过范围的大三角形中去掉Sbc这个小三角形，最后的结果神奇的就是多边形Sabc的面积，那么这个结论能否推广到任意多边形呢？

图3

在这里不做证明，下面给出的公式，就是任意多边形的面积公式：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
struct P{
    int x;
    int y;
}p[105];
double area(int a)
{
    int b = a-1;
    return (p[b].x*p[a].y-p[a].x*p[b].y)-(p[0].x*p[a].y-p[a].x*p[0].y)+(p[0].x*p[b].y-p[b].x*p[0].y);
}   //这就是数量积的最简形式 
int main() //一个多边形最少可以分成n-2个三角形 
{    
    int n;
    while(cin >> n){
        if(n==0) break;
        for(int i=0;i<n;i++)
            cin >> p[i].x >> p[i].y;
        double sum = 0;
        for(int i=2;i<n;i++){    
            sum +=area(i)/2.0;   //从第三个点开始求面积 
        }
        printf("%0.1ld",sum);
    }
    return 0;
}

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