力扣312. 戳气球_力扣 戳气球

题目

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：

输入：nums = [3,1,5,8]

输出：167

解释： nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> [] coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入：nums = [1,5]

输出：10

思考过程

这道题如果思考整个过程会很麻烦，因为我们不知道戳破某个气球后，谁跟谁挨着，也就没办法求这么简单的公式：a*b*c.

不妨反过来想，如果有两个气球没别戳破，那么这两个气球中间的所有气球多有可能跟他们相连，形成a,b,c这种结构，所以这道题就变成了两个气球固定的情况下，选他俩之间哪个气球作为新插入的气球，让这两个气球求得最终和最大。

加入当前选择的是k位置气球加入

memo[left][right]=Math.max(memo[left][rigth],data[left]*data[right]*data[k]+memo[left][k]+memo[k][right]);

memo[left][k] 这个的含义是在pos>=left+1& pos <k-1这个位置中，能够获得的最大和。

memo[k][right] 这个的含义是在>=left+1 &pos<right这个位置中，能够获得公式计算之后的最大和。

所以这道题有两种解题思路

1、从上到下的记忆化搜索算法。

2、从下到上的dp算法。

一、记忆化搜索算法

这所以要用记忆化搜索算法就是为了避免重复计算超时，在我们计算过得位置用记忆数据计算该区域的最大值，如果该值已经计算过就直接返回。

记忆化搜索算法是一个从上到下的算法，我们第一步要确定总的计算范围，

也就是（0,n-1）

然后按照从上下的原则拆分到最小步骤，

1、如果开始，结束位置之间没有气球，则直接返回0

2、如果这中间夹杂着一个气球，则求这个气球的值（a[i-1]*a[i]*a[i+1]），返回

3、如果其中夹杂着多个气球，那么就求每一个气球的公式值.自求(left,k),(k,right)这两部分的和相加，就是最终添加第k个气球后最大值，而memo[left][right]就是再求调整该添加的球位置调整的情况下，最终获得的最大结果。

int[] data;
    int[][] memo;
 
    public int maxCoins(int[] nums) {
    	//方面计算扩展两个位置，开头和结尾都加一个1
        int n = nums.length + 2;
        data = new int[n];
        data[0] = data[n - 1] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            data[i + 1] = nums[i];
        }
    	//记忆化搜索方程，用于存放已经计算好的最大和。
        memo = new int[nums.length + 2][nums.length + 2];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            Arrays.fill(memo[i], -1);
        }
        return solve(0, n - 1);
    }
 
    private int solve(int begin, int end) {
    	//	中间不夹球
        if (begin + 1 >= end) {
            return 0;
        }
    	//已经计算过这个范围的最大和，直接返回。
        if (memo[begin][end] != -1) {
            return memo[begin][end];
        }
				//中间夹了很多球
        for (int i = begin + 1; i < end; i++) {
      	//首先计算夹了这个求之后和的变化。
            int sum = data[begin] * data[i] * data[end];
      	//计算不夹这个求的时候这个范围最大和。
            sum += solve(begin, i) + solve(i, end);
      	//每次求得的值，获取最大的给该区域的记忆化数组
            memo[begin][end] = Math.max(memo[begin][end], sum);
        }
      	//到这里，所有的夹球位置都计算过了，也就是知道了begin,end范围的最大值了。
        return memo[begin][end];
    }

二、dp算法

看记忆化搜索之后，我们发现如果从底向上，也是能够获得了，其中记忆化搜索方法的memo就是dp的方程式，其表示某个范围最大的方程式和。

dp的思想就是从小范围向大范围扩展，一开始这个范围没有求，值给sum贡献0，然后

求夹一个球的总和，

求夹两个球的总和。

.............

dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i+1][k]+dp[k][j]+data[k-1]*data[k]*data[k+1]);

public int maxCoins1(int[] nums) {
 
        int n = nums.length + 2;
        data = new int[n];
        data[0] = data[n - 1] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            data[i + 1] = nums[i];
        }
    	//dp方程，初始化每一个位置为0
        memo = new int[nums.length + 2][nums.length + 2];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            Arrays.fill(memo[i], 0);
        }
      	//从夹球数最少，到夹球数最多这个方向遍历
        for(int left=nums.length-1;left>=0;left--){
            for(int right=left+2;right<=nums.length+1;right++){
                  //遍历每一个新加入的求，为区间贡献的sum值，sum要再加上其之外的区间贡献的值
                  //才是完整的该区域的和是什么。不要漏掉其余区间的和。
                  //可以理解为新加入的求的贡献+没有它的时候该区间被分成左右两部分的时候和
                  //这两个值才是区间的完整和。
                for(int k=left+1;k<right;k++){
                    int sum =data[left]*data[right]*data[k] ;
                    sum+=memo[left][k]+memo[k][right];
                    memo[left][right]=Math.max(memo[left][right],sum);
 
                }
            }
        }
        return memo[0][n-1];
 
    }

复杂度分析

设小球的个数为n，则时间复杂度为O(n*n*n)

空间复杂度为O(n*n)