序贯最小二乘平差 / 递推最小二乘平差 公式推导

存疑：递推最小二乘平差应该和序贯平差的概念是一样的？因为序贯平差的概念为 “ 序贯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期或多期网一起做整体平差同样的结果。”

Part.I 预备知识

Chap.I 基础概念

• 序贯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期或多期网一起做整体平差同样的结果。
• 分组平差的优势：1）处理大型平差问题时，因分组平差的法方程的阶数较低，可以克服不分组时计算机容量不敷应用的困难。2）在一定情况下，例如分区平差，各组可同步进行计算，从而可以缩短计算的周期。3）当一个测量网已经完成了平差计算之后，因网形扩展或加密而增加了新的观测数据时，只需将原平差结果作为相关观测值并顾及其权逆阵，与新观测值一并进行平差，即可求得与新旧资料整体平差的相同结果。

Chap.II 符号含义

用到的符号和最小二乘平差中的符号相同

最小二乘平差：https://blog.csdn.net/Gou_Hailong/article/details/122188144

另外，在递推最小二乘中用到的几个新的符号的含义如下：

Part.II 递推最小二乘平差原理

一般情况下，观测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，须存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘平差从每次获得的量测值中提取被估计量的信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精度也越高。下面详细介绍该算法。

Chap.I 递推公式

下面是递推的结论

起始项(初值)可由最小二乘得到。另外，上面的递推公式可以写作更简洁的形式：

上面的三个式子的含义：

• $K_{k+1}$(一个中间变量)是增益矩阵
• $N_{k+1}$是方差阵，所以第二个式子是方差阵递推公式
• ${\hat{X}}_{k+1}$ 是待估状态量，所以第三个式子是状态递推公式

递推最小二乘可以看成是卡尔曼滤波的特殊形式，其特殊之处在于待估参量是不随时间变化的，而是常值。状态递推公式在卡尔曼滤波中分为一步预测和量测更新(修正)，这里因为待估参量是常值，所以预测值就是之前的估值(没什么好预测的)。

Chap.II 递推公式推导

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下面的补于2022-10-25，参考严龚敏老师的视频讲座

Chap.III 一图流