多目标线性规划_多目标优化是两个目标函数吗

作者：bf789 | 2024-02-02 14:57:54

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多目标优化是两个目标函数吗

多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性，要求使所有的目标均达到最优解是不可能的，因此多目标规划问题往往只是求其有效解。

目前求解多目标规划有着两个和两个以上的目标函数，且目标函数和约束条件全是线性函数，其数学模型表示为：

目标函数：

$max z=\left\{ \begin{aligned} z_1=c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1n}x_n \\ z_2=c_{21}x_1+c_{22}x_2+...+c_{2n}x_n \\ ...~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ z_r=c_{r1}x_1+c_{12}x_2+...+c_{rn}x_n \end{aligned} \right.$

约束条件：

$s.t.\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\le b_1~~~\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\le b_2~~~\\ ...~~~~~~~~~~~~~~~~\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n\le b_m\\ x_1,x_2,...,x_n\ge0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{aligned} \right.$

理想点法

对于多目标规划问题，先求解 r 个单目标问题。设其最优解 $Z_j^*$ ，称 $Z^*$ 为值域中的一个理想点。于是，在期望的某种度量之下，寻求距离 $Z^*$ 最近的 $Z$ 作为近似解。一种最直接的方法就是最短距离理想点法，构造评价函数。

$\varphi(Z)=\sqrt{\sum_{i=1}^r[Z_i-Z_i^*]^2}$

然后极小化 $\varphi[Z(x)]$ ，即求解

$\min_{x\in D}\varphi[Z(x)]=\sqrt{\sum{i=1}^r[Z_i(x)-Z_i^*]^2}$

并将它的最优解 $x^*$ 作为约束条件下的“最优解”。

【例】

利用理想点法解：

$\max f_1(x)=3x_1-2x_2$

$\max f_2(x)=-4x_1-3x_2$

$s.t.\left\{ \begin{aligned} 2x_1+3x_2\le18\\ 2x_1+x_2\le10~\\ x_1,x_2\ge0~~~~~~ \end{aligned} \right.$

解分别对单目标求解

求解 $f_1(x)$ 最优解的MATLAB程序为


f=[3,-2];
A=[2,3;2,1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

结果输出为


x =
 
     0
     6
 
 
fval =
 
   -12

即最优解为12。

求解 $f_2(x)$ 最优解的MATLAB程序为


f=[-4,-3];
A=[2,3;2,1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

求解结果为


x =
 
     3
     4
 
 
fval =
 
   -24

即最优解为24。

于是得到理想点：（12，24）

目标函数转变为

$\min_{x\in D}[f(x)]=\sqrt{[f1(x)-12]^2+[f_2(x)-24]^2}$

MATLAB程序如下


f='((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2)';
A=[2,3;2,1];
b=[18;10];
x0=[1;1];
lb=[0;0];
[x,fval]=fmincon(f,x0,A,b,[],[],lb,[])

求解结果

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