C++算法学习心得六.回溯算法（1）

1.回溯算法理论基础

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。回溯的本质是穷举,穷举所有可能，然后选出我们想要的答案

回溯法解决的问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序,组合无序排列有序

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

回溯三部曲：回溯函数模板返回值以及参数，回溯算法中函数返回值一般为void，需要什么参数，就填什么参数。回溯函数终止条件树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。回溯搜索的遍历过程，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
 
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

2.组合（77题）

题目描述：

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

回溯法：每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;//结果集
    vector<int> path;//符合条件结果
    //递归回溯函数，使用startindex
    void backtracking(int n,int k,int startindex){
        //终止条件，数组数组大小到递归
        if(path.size() == k){
            result.push_back(path);//将路径加入结果集中
            return;
        }
        //控制数的横向遍历
        for(int i = startindex;i <= n;i++){
            path.push_back(i);//处理节点
            backtracking(n,k,i+1);//递归，纵向遍历，下一层从i+1搜索
            path.pop_back();//回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(n,k,1);//
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(n * 2^n)
• 空间复杂度: O(n)

回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题，把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程，用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。

3.组合优化（77题）

题目描述：和2一样

减枝优化：剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;//结果集
    vector<int> path;//符合条件结果
    //递归回溯函数，使用startindex
    void backtracking(int n,int k,int startindex){
        //终止条件，数组数组大小到递归
        if(path.size() == k){
            result.push_back(path);//将路径加入结果集中
            return;
        }
        //控制数的横向遍历，注意i的范围i进行了减枝操作
        for(int i = startindex;i <= n - (k-path.size())+1;i++){
            path.push_back(i);//处理节点
            backtracking(n,k,i+1);//递归，纵向遍历，下一层从i+1搜索
            path.pop_back();//回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(n,k,1);
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(n * 2^n)
• 空间复杂度: O(n)

减枝操作不好理解所以还是可以根据树来进行模拟更方便。

4.组合总和III（216题）

题目描述：

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

• 所有数字都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

回溯法：我们确定函数的参数：

• targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
• k（int）就是题目中要求k个数的集合。
• sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
• startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。

 处理过程 和 回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！

class Solution {
private:
    vector<int>path;//路径
    vector<vector<int>>result;//结果集
    void backtracking(int targetsum,int k,int sum,int startindex){
        //终止条件
        if(path.size() == k){
            if(sum == targetsum)result.push_back(path);//如果和和目标和相等加入数组
            return;
        }
        //遍历1-9数字，使用startindex来控制每次加入的数字
        for(int i = startindex;i <= 9;i++){
            path.push_back(i);//路径加入
            sum += i;//计算加进来的和
            backtracking(targetsum,k,sum,i+1);//进行递归
            sum -= i;//回溯
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        path.clear();
        result.clear();
        backtracking(n,k,0,1);//注意参数的传入
        return result;
    }
};

减枝操作：

class Solution {
private:
    vector<int>path;//路径
    vector<vector<int>>result;//结果集
    void backtracking(int targetsum,int k,int sum,int startindex){
        //终止条件
        if(sum > targetsum){
            return ;//当前和大于了目标和就直接返回，减枝操作
        }
        if(path.size() == k){
            if(sum == targetsum)result.push_back(path);//如果和和目标和相等加入数组
            return;
        }
        //遍历1-9数字，使用startindex来控制每次加入的数字,这里和组合那个减枝操作类似，代表着所需元素要求来限制
        for(int i = startindex;i <= 9 - (k-path.size())+1;i++){
            path.push_back(i);//路径加入
            sum += i;//计算加进来的和
            backtracking(targetsum,k,sum,i+1);//进行递归
            sum -= i;//回溯
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        path.clear();
        result.clear();
        backtracking(n,k,0,1);//注意参数的传入
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(n * 2^n)
• 空间复杂度: O(n)

先写树的回溯然后再考虑减枝问题

5.电话号码的字母组合（17题）

题目描述：

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

• 输入："23"
• 输出：["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].

说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

使用二维数组来进行映射，回溯可以解决n个for循环问题，注意我们这里不用startindex是因为我们需要从两个不同的字符串来选择字符，之前组合那个是因为在同一个集合，这个因为在不同集合

class Solution {
private: 
    const string letterMap[10] = {
        "", // 0
        "", // 1
        "abc", // 2
        "def", // 3
        "ghi", // 4
        "jkl", // 5
        "mno", // 6
        "pqrs", // 7
        "tuv", // 8
        "wxyz", // 9
    }; 
public:
    vector<string>result;//结果
    string s;//字符串
    //函数和参数定义
    void backtracking(const string& digits,int index){
        if(index == digits.size()){
            result.push_back(s);//满足条件加入字符串中
            return ;
        }
        int digit = digits[index] - '0';//将index指向的数字转为int
        string letter = letterMap[digit];//取数字对应的字符集
        //注意这里取index不是startindex是因为不同集合，且下标可以从0开始
        for(int i = 0;i < letter.size();i++){
            s.push_back(letter[i]);//加入s中
            backtracking(digits,index+1);//递归
            s.pop_back();//回溯
        }
    }
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        s.clear();
        result.clear();
        if(digits.size() == 0){
            return result;
        }
        backtracking(digits,0);
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(3^m * 4^n)，其中 m 是对应四个字母的数字个数，n 是对应三个字母的数字个数
• 空间复杂度: O(3^m * 4^n)

 总结：

回溯理论:回溯本身就是穷举法来实现，只要有递归就会有回溯，列举出来所有可能，可以解决的问题有排列（有顺序），组合（不强调顺序），子集，切割，棋盘问题，可以抽象为树形结构，在集合中查找子集，集合大小作为树的宽度，递归深度是树的深度，三部曲和递归三部曲很相似,for循环是横向遍历，递归是纵向遍历

组合：我们从n中选取k个树的集合，注意我们使用startindex来控制集合的横向遍历，使用递归i来实现集合的纵向遍历，我们需要注意结束的终止条件，也就是收集结果的过程，注意递归后面就需要处理回溯的过程

组合优化问题其实需要考虑，是否在遍历i的时候考虑缩小范围达到效果，

组合总和iii的问题解决，我们来定义的函数需要传进来的参数，目标和，现在和，还有集合大小，每次搜索的位置，这里和之前处理相似，但是需要注意的是，终止条件，以及回溯过程的写法，减枝操作也可以从两个方面来入手实现，集合大小，还有数值大小来进行处理

电话号码的字母组合：需要写对应的字符号对应，注意定义的index就可以实现，因为从不同集合取元素，和之前startindex不一样，