1.3 无穷小与无穷大_无穷大与无穷小的等价

本篇内容为无穷小与无穷大。首先从字面意思理解一下，无穷大就是要多大有多大，无穷小就是要多小有多小。这么理解是对的，但是这里的“大”和“小”可能可我们平常的理解不太一样，比如：1000比-10000要大。在无穷小与无穷大的概念中，+∞和-∞都是无穷大，而无穷小则是0，不过是有条件的0。

无穷小

定义

α(x)为x的函数，当α(x)=0 (x->x₀)，称α(x)当x->x₀时为无穷小。
注解：

1. 无穷小是一个函数
2. 无穷小是一个极限为0的函数

注意

1. 0是无穷小，但无穷小不一定是0；

    结合概念注解，0作为常数函数是一个无穷小，以0为极限的函数都叫无穷小
   1

2. 设α(x)≠0，那么α(x)是否为无穷小，与自变量的趋向有关，换句话说，只有在自变量x的特定趋向下令α(x)的极限为0，此时的α(x)才是无穷小；

   比如α(x)=3(x-1)²，当x→1时α(x)是无穷小，当x→2时就不是无穷小

等价定义

对于任意的ε>0,，存在δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，|α(x)-0|<ε，即α(x)=0 （x→x₀）

无穷小的常规性质

α(x)=0 （x→x₀）下文简写为α→0；β(x)=0 （x→x₀）下文简写为β→0；
1.α→0（x→x₀），β→0（x→x₀），则(α±β)→0（x→x₀）

ε表示误差，具有任意性，可以理解为ε要多小有多小，那么2ε同样要多小有多小
1

2.α→0（x→x₀），则kα→0（x→x₀），k为常数

3.f(x)=A（x→x₀），则f(x)可以表示为f(x)=A+α（α为f(x)与A的误差），α→0,（x→x₀）


4.α→0，β→0，则αβ→0

无穷大

定义

对任意的M>0，存在δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，|f(x)|>M,称f(x)当x→x₀时为无穷大。
记作

注解

• 此处与极限的定义进行比对。在极限中，给定一个要多小又多小的值，在去心邻域内存在小于该值的界限；无穷大的概念中，则是给定一个要多大又多大的值，在去心邻域内，存在大于该值的界限。
• 也可以理解为，对于一个函数，任取一个要多大有多大的值，该函数总能在一个范围内找到比该值更大的值。
• 此处只给出了x→x₀时无穷大的概念，x→∞的概念可以结合前面极限的概念类推。

例题

例1

例2

无穷小与无穷大的关系

无穷小与无穷大的关系在这只给一个性质

证明

还可以自己尝试从ε开始证明，此处不再证明

总结

本篇内容包括无穷小、无穷大、无穷小与无穷大的关系

• 无穷小：极限为0的函数被称为无穷小，一个函数是否为无穷小与自变量的趋向有关；0是一个特殊的无穷小。
• 无穷大：任意给一个要多大有多大的值，在函数的去心邻域中，总能找到比它更大的值。
• 无穷小与无穷大的关系：互为倒数。

预：极限的运算法则