用Python实现9大回归算法详解——02. Lasso 回归算法

1. Lasso 回归的基本概念

Lasso 回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是一种线性回归模型，通过引入 正则化（也称为 Lasso 正则化），在训练模型的同时对系数进行约束。Lasso 回归不仅能够避免过拟合，还能够自动进行特征选择，通过将一些不重要的特征的系数缩减为零，从而简化模型。

Lasso 回归的目标是最小化以下损失函数：

其中：

• 是第个样本的实际值。
• 是第个样本的预测值。
• 是模型的回归系数。
• 是样本数。
• 是特征数。
• 是正则化参数，用于控制 正则化项的强度。

2. Lasso 回归的数学表达

Lasso 回归的损失函数可以分为两部分：

1. 最小化残差平方和（即最小二乘项）：

     2. 正则化项：用于惩罚模型的复杂度，具体为范数：

因此，Lasso 回归的目标是找到一组回归系数 ，使得上述损失函数最小化。

3. Lasso 回归的作用

Lasso 回归的主要作用包括：

• 减少模型复杂度：通过正则化，Lasso 回归能够控制模型的复杂度，减少过拟合的风险。
• 特征选择：Lasso 回归会自动将不重要的特征的系数缩减为零，从而实现特征选择。

4. Lasso 回归的优化问题

Lasso 回归的优化问题可以表示为：

该优化问题通常通过坐标下降法（Coordinate Descent）来求解。

5. Lasso 回归案例

接下来，我们通过一个具体的案例来展示如何使用 Lasso 回归进行建模，并对结果进行详细分析。

5.1 数据准备

我们将使用一个模拟的数据集，其中包含多个特征和目标变量。我们会人为地加入一些噪声，增加特征选择的难度。

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
 
# 生成模拟数据
np.random.seed(42)
X = np.random.randn(100, 10)  # 100个样本，10个特征
true_coefficients = np.array([1.5, -2, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 5])  # 实际的回归系数
y = X.dot(true_coefficients) + np.random.randn(100) * 0.5  # 生成目标变量，并加入噪声
 
# 将数据划分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
 
# 将数据转化为DataFrame以便查看
df = pd.DataFrame(X, columns=[f"Feature_{i+1}" for i in range(X.shape[1])])
df['Target'] = y
print(df.head())

输出：

   Feature_1  Feature_2  Feature_3  Feature_4  Feature_5  Feature_6  Feature_7  Feature_8  Feature_9  Feature_10    Target
0   0.496714  -0.138264   0.647689   1.523030  -0.234153  -0.234137   1.579213   0.767435  -0.469474    0.542560   0.513884
1  -0.463418  -0.465730   0.241962  -1.913280  -1.724918  -0.562288  -1.012831   0.314247  -0.908024   -1.412304  -8.905334
2  -1.424748  -0.544383   0.110923  -1.150994   0.375698  -0.600639  -0.291694  -0.601707   1.852278   -0.013497   1.041154
3  -1.057711   0.822545  -1.220844   0.208864  -1.959670  -1.328186   0.196861   0.738467   0.171368   -0.115648  -5.937149
4  -1.478522  -0.719844  -0.460639   1.057122   0.343618  -1.763040   0.324084  -0.385082  -0.676922    0.611676  -0.340138

5.2 模型训练

我们使用 Lasso 回归模型进行训练，并选择合适的正则化参数 。

# 定义Lasso回归模型，并选择正则化参数alpha
lasso_model = Lasso(alpha=0.1)
lasso_model.fit(X_train, y_train)
 
# 输出模型系数
print("模型截距 (Intercept):", lasso_model.intercept_)
print("模型系数 (Coefficients):", lasso_model.coef_)

输出：

模型截距 (Intercept): -0.03688971929504553
模型系数 (Coefficients): [ 1.36801626 -1.89662579  0.         -0.          2.98880389  0.
  0.         -0.          0.          4.93463356]

解释：

• 模型截距 (Intercept)：表示所有特征都为零时，目标变量的预测值。
• 模型系数 (Coefficients)：Lasso 回归对系数进行了缩减，并将一些不重要的特征的系数缩减为零。我们可以看到，第3、第4、第6、第7、第8、第9个特征的系数被缩减为零，这意味着这些特征对目标变量的预测没有贡献，被模型自动剔除了。

5.3 模型预测与评估

使用训练好的模型对测试集进行预测，并评估模型的性能。

# 对测试集进行预测
y_pred = lasso_model.predict(X_test)
 
# 计算均方误差 (MSE) 和决定系数 (R²)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)
 
print("均方误差 (MSE):", mse)
print("决定系数 (R²):", r2)

输出：

均方误差 (MSE): 0.27528742481852454
决定系数 (R²): 0.9840898373917382

解释：

• 均方误差 (MSE)：表示预测值与实际值之间的平均平方误差。MSE越小，模型的预测效果越好。这里的MSE为0.275，表明模型的误差较小。
• 决定系数 (R²)：表示模型解释了目标变量方差的百分比。R²越接近1，模型的拟合效果越好。这里的R²为0.984，说明模型很好地拟合了数据。

5.4 结果分析

• 模型系数的解读：Lasso 回归通过对系数的惩罚，使得部分不重要的特征系数缩减为零，从而实现特征选择。在我们的案例中，Lasso 模型成功识别出与目标变量相关的特征，并剔除无关特征。
• 模型的预测能力：通过评估指标（MSE 和 R²），我们可以看到模型具有较强的预测能力。R²接近1，说明模型解释了大部分的目标变量方差，MSE较小，表明预测误差较低。

6. 总结

Lasso 回归是一种有效的线性回归方法，通过引入 正则化项来避免过拟合并自动选择特征。在模型训练过程中，Lasso 回归不仅能够对系数进行缩减，还能够将不重要的特征的系数缩减为零，实现特征选择。通过案例分析，我们验证了 Lasso 回归在特征选择和模型简化中的有效性，并展示了如何使用 Python 进行实现和结果分析。