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为了方便研究最小二乘法问题,现提供如下车辆时间和行驶距离的观测数据用于讨论和分析。
令:车辆的初速度
v
0
v_0
v0 、加速度
a
a
a、时间
t
t
t、距离
y
^
\hat{y}
y^ ,第
i
i
i组观测值为
(
t
i
,
y
^
i
)
(t_i,\hat{y}_i )
(ti,y^i),时间
t
t
t与距离
y
^
\hat{y}
y^满足的数学模型如下:
y
^
=
f
(
v
0
,
a
,
t
)
=
1
2
a
t
2
+
v
0
t
(
公式
59
)
\hat{y}=f(v_0,a,t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t \qquad (公式59)
y^=f(v0,a,t)=21at2+v0t(公式59)
min
F
(
a
,
v
0
)
=
1
2
∑
i
=
1
10
(
f
(
v
0
,
a
,
t
i
)
−
y
i
^
)
2
(
公式
60
)
\text{min}F(a,v_0)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10} (f(v_0,a,t_i)-\hat{y_i})^2 \qquad (公式60)
minF(a,v0)=21i=1∑10(f(v0,a,ti)−yi^)2(公式60)
观察公式 60 发现,
y
i
^
\hat{y_i}
yi^ 和
t
i
t_i
ti 是 常 数 ,
a
a
a 和
v
0
v_0
v0 是变量,可知该最小二乘问题是函数
F
F
F关于
a
a
a 和
v
v
v 的最小极值问题。
% ==================================================== % 梯度下降算法 % ==================================================== f = @(args,t)(0.5*args(1)*power(t,2)+args(2)*t); % 定义数学模型 l = @(args,t,y)((f(args,t)-y)); % 定义残差函数 o = @(lv)(0.5.*power(lv,2)); % 定义目标函数 % ======================偏导函数======================== delta = 0.0001; oj1 = @(args,t,y)((o(l(args+[delta 0]',t,y))-o(l(args,t,y)))./delta); % 关于目标函数第一个参数的一阶偏导函数 oj2 = @(args,t,y)((o(l(args+[0 delta]',t,y))-o(l(args,t,y)))./delta); % 关于目标函数第二个参数的一阶偏导函数 % ======================初始数据======================== t = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % 加速度实验的观测值,时间(单位:秒) y = [0 11.52 26.2 43.5 64.12 87.57 114.12 143.5 176.3 211.5 250.12]; % 加速度实验的观测值,距离(单位:米) x = [1;1]; % 初始化参数[args(1);args(2)] goal = 0.0001; % 目标误差 epochs = 10000; % 训练次数 ov = 0; % 初始化目标值 for k=1:epochs % ======================误差计算======================== tl = l(x,t,y); % 计算残差值 tmp_ov = sum(o(tl)); % 计算最新目标值 tmp_error = abs(tmp_ov-ov); % 目标值的变化 disp([num2str(k),'->目标值:[ ',num2str(tmp_ov),']误差:[',num2str(tmp_error),']']); ov = tmp_ov; % 更新目标值 if tmp_error<goal disp(['训练次数: ',num2str(k),'次...']); break; end % ======================执行训练======================== J=[sum(oj1(x,t,y)) sum(oj2(x,t,y))]; % 雅克比矩阵 % ======================更新参数======================== x=x-0.0001*J; end % ======================================================== % 打印训练结果 % ======================================================== disp(['训练后的参数: ',mat2str(x)]); plot(t,y,'o',min(t):0.001:max(t),f(x,min(t):0.001:max(t)),'-');
2301->目标值:[ 0.066603]误差:[0.00010549]
2302->目标值:[ 0.066498]误差:[0.000105]
2303->目标值:[ 0.066393]误差:[0.00010451]
2304->目标值:[ 0.066289]误差:[0.00010403]
2305->目标值:[ 0.066186]误差:[0.00010355]
2306->目标值:[ 0.066083]误差:[0.00010307]
2307->目标值:[ 0.06598]误差:[0.0001026]
2308->目标值:[ 0.065878]误差:[0.00010212]
2309->目标值:[ 0.065776]误差:[0.00010165]
2310->目标值:[ 0.065675]误差:[0.00010118]
2311->目标值:[ 0.065575]误差:[0.00010071]
2312->目标值:[ 0.065474]误差:[0.00010025]
2313->目标值:[ 0.065375]误差:[9.9784e-05]
训练次数: 2313次...
训练后的参数: [3.00520620930594;9.99137523198286]
% ==================================================== % Newton算法 % ==================================================== f = @(args,t)(0.5*args(1)*power(t,2)+args(2)*t); % 定义数学模型 l = @(args,t,y)((f(args,t)-y)); % 定义残差函数 o = @(lv)(0.5.*power(lv,2)); % 定义目标函数 % ======================偏导函数======================== delta = 0.0001; oj1 = @(args,t,y)((o(l(args+[delta 0]',t,y))-o(l(args,t,y)))./delta); % 关于目标函数第一个参数的一阶偏导函数 oj2 = @(args,t,y)((o(l(args+[0 delta]',t,y))-o(l(args,t,y)))./delta); % 关于目标函数第二个参数的一阶偏导函数 oh00 = @(args,t,y)((oj1(args+[delta 0]',t,y)-oj1(args,t,y))/delta); % 关于目标函数的(第一个参数,第一个参数)的二阶偏导函数 oh01 = @(args,t,y)((oj1(args+[0 delta]',t,y)-oj1(args,t,y))/delta); % 关于目标函数的(第一个参数,第二个参数)的二阶偏导函数 oh10 = @(args,t,y)((oj2(args+[delta 0]',t,y)-oj2(args,t,y))/delta); % 关于目标函数的(第二个参数,第一个参数)的二阶偏导函数 oh11 = @(args,t,y)((oj2(args+[0 delta]',t,y)-oj2(args,t,y))/delta); % 关于目标函数的(第二个参数,第二个参数)的二阶偏导函数 % ======================初始数据======================== t = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % 加速度实验的观测值,时间(单位:秒) y = [0 11.52 26.2 43.5 64.12 87.57 114.12 143.5 176.3 211.5 250.12]; % 加速度实验的观测值,距离(单位:米) x = [1;1]; % 初始化参数[args(1);args(2)] goal = 0.0001; % 目标误差 epochs = 10000; % 训练次数 ov = 0; % 初始化目标值 for k=1:epochs % ======================误差计算======================== tl = l(x,t,y); % 计算残差值 tmp_ov = sum(o(tl)); % 计算最新目标值 tmp_error = abs(tmp_ov-ov); % 目标值的变化 disp([num2str(k),'->目标值:[ ',num2str(tmp_ov),']误差:[',num2str(tmp_error),']']); ov = tmp_ov; % 更新目标值 if tmp_error<goal disp(['训练次数: ',num2str(k),'次...']); break; end % ======================执行训练======================== H=[sum(oh00(x,t,y)),sum(oh01(x,t,y)) sum(oh10(x,t,y)),sum(oh11(x,t,y))]; % 黑塞矩阵 J=[sum(oj1(x,t,y)) sum(oj2(x,t,y))]; % 雅克比矩阵 % ======================更新参数======================== x=x-inv(H)*J; end % ======================================================== % 打印训练结果 % ======================================================== disp(['训练后的参数: ',mat2str(x)]); plot(t,y,'o',min(t):0.001:max(t),f(x,min(t):0.001:max(t)),'-');
1->目标值:[ 55574.2293]误差:[55574.2293]
2->目标值:[ 0.044544]误差:[55574.1847]
3->目标值:[ 0.04453]误差:[1.4246e-05]
训练次数: 3次...
训练后的参数: [2.9945866146396;10.0356844035264]
% ==================================================== % Gauss-Newton算法 % ==================================================== f = @(args,t)(0.5*args(1)*power(t,2)+args(2)*t); % 定义数学模型 l = @(args,t,y)((f(args,t)-y)); % 定义残差函数 o = @(lv)(0.5.*power(lv,2)); % 定义目标函数 % ======================偏导函数======================== delta = 0.0001; j1 = @(args,t,y)((l(args+[delta 0]',t,y)-l(args,t,y))./delta); % 关于残差函数第一个参数的一阶偏导函数 j2 = @(args,t,y)((l(args+[0 delta]',t,y)-l(args,t,y))./delta); % 关于残差函数第二个参数的一阶偏导函数 % ======================初始数据======================== t = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % 加速度实验的观测值,时间(单位:秒) y = [0 11.52 26.2 43.5 64.12 87.57 114.12 143.5 176.3 211.5 250.12]; % 加速度实验的观测值,距离(单位:米) x = [1;1]; % 初始化参数[args(1);args(2)] goal = 0.0001; % 目标误差 epochs = 10000; % 训练次数 ov = 0; % 初始化目标值 for k=1:epochs % ======================误差计算======================== tl = l(x,t,y); % 计算残差值 tmp_ov = sum(o(tl)); % 计算最新目标值 tmp_error = abs(tmp_ov-ov); % 目标值的变化 disp([num2str(k),'->目标值:[ ',num2str(tmp_ov),']误差:[',num2str(tmp_error),']']); ov = tmp_ov; % 更新目标值 if tmp_error<goal disp(['训练次数: ',num2str(k),'次...']); break; end % ======================执行训练======================== tmp_j1 = j1(x,t,y); % 关于第一个参数的一阶偏导函数的值 tmp_j2 = j2(x,t,y); % 关于第二个参数的一阶偏导函数的值 H=[sum(tmp_j1.*tmp_j1),sum(tmp_j1.*tmp_j2) sum(tmp_j2.*tmp_j1),sum(tmp_j2.*tmp_j2)]; % 近似黑塞矩阵 J=[sum(tl.*tmp_j1) sum(tl.*tmp_j2)]; % 近似雅克比矩阵 % ======================更新参数======================== x=x-inv(H)*J; end % ======================================================== % 打印训练结果 % ======================================================== disp(['训练后的参数: ',mat2str(x)]); plot(t,y,'o',min(t):0.001:max(t),f(x,min(t):0.001:max(t)),'-');
1->目标值:[ 55574.2293]误差:[55574.2293]
2->目标值:[ 0.044455]误差:[55574.1848]
3->目标值:[ 0.044455]误差:[1.4919e-15]
训练次数: 3次...
训练后的参数: [2.9952026286965;10.0333143483027]
% ==================================================== % LM算法 % ==================================================== f = @(args,t)(0.5*args(1)*power(t,2)+args(2)*t); % 定义数学模型 l = @(args,t,y)((f(args,t)-y)); % 定义残差函数 o = @(lv)(0.5.*power(lv,2)); % 定义目标函数 % ======================偏导函数======================== delta = 0.0001; j1 = @(args,t,y)((l(args+[delta 0]',t,y)-l(args,t,y))./delta); % 关于残差函数第一个参数的一阶偏导函数 j2 = @(args,t,y)((l(args+[0 delta]',t,y)-l(args,t,y))./delta); % 关于残差函数第二个参数的一阶偏导函数 % ======================初始数据======================== t = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % 加速度实验的观测值,时间(单位:秒) y = [0 11.52 26.2 43.5 64.12 87.57 114.12 143.5 176.3 211.5 250.12]; % 加速度实验的观测值,距离(单位:米) x = [1;1]; % 初始化参数[args(1);args(2)] goal = 0.0001; % 目标误差 epochs = 10000; % 训练次数 ov = 0; % 初始化目标值 for k=1:epochs % ======================误差计算======================== tl = l(x,t,y); % 计算残差值 tmp_ov = sum(o(tl)); % 计算最新目标值 tmp_error = abs(tmp_ov-ov); % 目标值的变化 disp([num2str(k),'->目标值:[ ',num2str(tmp_ov),']误差:[',num2str(tmp_error),']']); ov = tmp_ov; % 更新目标值 if tmp_error<goal disp(['训练次数: ',num2str(k),'次...']); break; end % ======================执行训练======================== tmp_j1 = j1(x,t,y); % 关于第一个参数的一阶偏导函数的值 tmp_j2 = j2(x,t,y); % 关于第二个参数的一阶偏导函数的值 H=[sum(tmp_j1.*tmp_j1),sum(tmp_j1.*tmp_j2) sum(tmp_j2.*tmp_j1),sum(tmp_j2.*tmp_j2)]; % 近似黑塞矩阵 J=[sum(tl.*tmp_j1) sum(tl.*tmp_j2)]; % 近似雅克比矩阵 % ======================计算值λ======================== if k==1 % 初始化值λ lambda = 0.000001*max(diag(H)); v=2; else % 更新值λ tmp_delta = delta*ones(size(J)); beta = (tmp_ov-o(l(x+tmp_delta,t,y)))/(tmp_ov-(tmp_ov+J'*tmp_delta+0.5.*tmp_delta'*H*tmp_delta)); if beta>0 lambda = lambda * max([1/3;1-power(2*beta-1,3)]); v = 2; else lambda = lambda*v; v = 2*v; end end disp(['-->值λ: ',mat2str(lambda)]); % ======================更新参数======================== x=x-inv(H+lambda*eye(size(H)))*J; end % ======================================================== % 打印训练结果 % ======================================================== disp(['训练后的参数: ',mat2str(x)]); plot(t,y,'o',min(t):0.001:max(t),f(x,min(t):0.001:max(t)),'-');
1->目标值:[ 55574.2293]误差:[55574.2293]
-->值λ: 0.00633324999999457
2->目标值:[ 0.044517]误差:[55574.1847]
-->值λ: 0.0126664999999891
3->目标值:[ 0.044455]误差:[6.1711e-05]
训练次数: 3次...
训练后的参数: [2.99520293572588;10.033313067223]
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