最快方法求最长上升子序列（LIS）+最长公共子序列（LCS）模板（C/C++）_lis算法

目录

1  LIS算法（最长上升子序列）

1.1  简介

1.2  代码

1.3  相关解释

2  LCS算法（最长公共子序列）

2.1  简介

2.2  代码（动态规划，时间复杂度O（nlogn））

2.3  特殊情况下的优化

---

1  LIS算法（最长上升子序列）

1.1  简介

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

1.2  代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int a[99999],dp[99999]; // a数组为数据，dp[i]表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值
 
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)//**解释1** 
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            dp[i]=INT_MAX; // 初始化为无限大
        }
        int pos=0;    // 记录dp当前最后一位的下标
        dp[0]=a[0];   // dp[0]值显然为a[0]
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            if(a[i]>dp[pos])    // 若a[i]大于dp数组最大值，则直接添加
                dp[++pos] = a[i];
            else    // 否则找到dp中第一个大于等于a[i]的位置，用a[i]替换之。
                dp[lower_bound(dp,dp+pos+1,a[i])-dp]=a[i];  // 二分查找**解释2** 
        }
        cout<<pos+1<<endl;
    }
    return 0;
}
 

1.3  相关解释

解释1：循环用例

假设我们根据给定的数字a和b，计算a与b的和。

如果使用这段代码：

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main(){
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << a + b << endl;
	return 0;
}

则只能输入一组a和b，计算结束后程序就会退出。想要再计算一组和，需要重新运行程序。

如果使用循环用例：

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main(){
	int a, b;
	while(cin >> a >> b){
		cout << a + b << endl;
	}
	return 0;
}

则可以处理多组输入，并且返回多组输出。

解释2：二分法找第一个大于/小于某个数的函数

lower_bound( )和upper_bound( )都是利用二分查找的方法在一个排好序的数组中进行查找的。

在从小到大的排序数组中，

lower_bound( begin,end,num)：从数组的[begin,end)二分查找第一个大于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

upper_bound( begin,end,num)：从数组的[begin,end)二分查找第一个大于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

2  LCS算法（最长公共子序列）

2.1  简介

LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。

比如，对于char x[]="aabcd";有顺序且相互相邻的aabc是其子序列，有顺序但是不相邻的abc也是其公共子序列。即，只要得出序列中各个元素属于所给出的数列，就是子序列。

再加上char y[]="12abcabcd";对比出才可以得出最长公共子序列abcd。

2.2  代码（动态规划，时间复杂度O（n*n））

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int DP[1000][1000];   
int LCS_length(string a, string b)//长度 
{
    int M = a.size();
    int N = b.size();
    for(int i=1; i<=M; i++)
    {
        for(int j=1; j<=N; j++)
        {
            if(a[i-1] == b[j-1]) DP[i][j] = DP[i-1][j-1] + 1;//最好 
            else if(DP[i-1][j] >= DP[i][j-1]) DP[i][j] = DP[i-1][j];
            else  DP[i][j] = DP[i][j-1];
        }
    }
    return DP[M][N];
}
 
void LCS(string a, string b, int i, int j)//具体公共字符串 
{
    if(i==0 || j==0) return;//设置边界 
    if(a[i-1]==b[j-1])
    {
        LCS(a, b, i-1, j-1);
        cout<<a[i-1]; 
    }
    else if(DP[i-1][j] > DP[i][j-1]) LCS(a, b, i-1, j);
    else LCS(a, b, i, j-1);
}
 
int main()
{
    string a, b;
    cout<<"请输入两个字符串:"<<endl;
    while(cin>>a>>b && a!="#")
    {
        cout<<"最大公共子序列长度为:"<<LCS_length(a, b)<<endl;
        cout<<"最大公共子序列为:";
        LCS(a, b, a.size(), b.size());
        cout<<endl<<"请输入两个字符串:"<<endl;
    }
    return 0;
}
 

2.3  特殊情况下的优化（映射，时间复杂度O（nlogn））

特殊情况：一个序列没有重复元素，另一个序列随意

#include<bits/stdc++.h> //一个序列所有元素都不重复 
using namespace std;
map <int,int> ma; 
int n,m;
int s1[300009],s2[300009];
int a[300009],low[300009],len;
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      cin>>s1[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
      cin>>s2[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
      ma[s2[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      a[i]=ma[s1[i]];
    int t=1;
    while(a[t]==0) t++;
    low[++len]=a[t];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==0) continue;
        if(a[i]>low[len])
         low[++len]=a[i];
        else
         {
            low[upper_bound(low+1,low+len+1,a[i])-low]=a[i];//自带函数
         }
    }   
    printf("%d",len);
    return 0;    
}

7  补充：蓝桥杯简介

一. 蓝桥杯赛事简介

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛，是由工业和信息化部人才交流中心举办的全国性IT学科赛事。全国1200余所高校参赛，累计参赛人数超过40万人。蓝桥杯大赛连续两年被列入中国高等教育学会发布的“全国普通高校学科竞赛排行榜”，是高校教育教学改革和创新人才培养的重要竞赛项目。对大学生综合评测，奖学金评定，升学考研都有一定助益。

大赛共包括三个竞赛组别，个人赛-软件类，个人赛-电子类，以及视觉艺术大赛。其中个人赛-软件类的比赛科目包括C/C++程序设计、Java软件开发、Python程序设计。今年第十二届蓝桥杯报名时间是2020年12月-2021年3月，4月省赛，5月国赛。

蓝桥杯大赛已成功举办11届，成为国内始终领跑的人才培养选拔模式，并受到行业和企业的高度认可，含金量也逐年增加，主要体现在：

蓝桥杯大赛题目的专业度高，专业度和难度已经与国际国内知名程序设计类竞赛不相上下。

双一流大学的参与度逐年提高，以最近的第11届蓝桥杯大赛为例，来自双一流大校的参赛选手近10000名；

专业顶尖选手越来越多，对历年选手的跟踪回访，发现大赛选手与ACM参赛选手高度重叠，可谓赢家通吃。

二. 参加蓝桥杯的好处

大学，是人生中最美最重要的时段。在大学，有的人经历苍白，有的人经历丰富，究竟是苍白还是丰富，取决于人的选择。如果你是IT类的学生，那么，我建议你了解并参加蓝桥杯大赛。既然我这么建议，那肯定是有道理的，比如：

1. 可以丰富自己的大学经历

有的人，在大学失去了方向和斗志，浑浑噩噩，当初信誓旦旦要从事IT相关领域，最后发现，是从事打游戏这个领域，毕业前才发现，自己所学甚少。 而蓝桥杯大赛，恰好可以让你丰富自己的大学经历，不枉费专业，不虚此行。

2. 可以提供自己的实力和水平

有不少同学是很有上进心的，但苦于不知道怎么发力。那么，蓝桥杯大赛，能给你指引好方向，让你处在竞争的氛围中，牵引着你向前。通过大赛实战，不断地检验和完善自己，经历挫败和曲折后，获得成功，这种经历，尤为珍贵。

3. 可以为将来的职业铺好道路

大家都是要去求职的，在面试中，最忌讳的就是，拿不出曾经的经历和成绩，无法打动面试官和公司。有的人在面试时，只说自己爱好学习，但拿不出任何证据。相反，如果参加蓝桥杯这样的大赛，成功也好，失败也好，至少来讲，你比别人多了一块敲门砖，面试官也会对你刮目相看。

三. 蓝桥杯的备战攻略

蓝桥杯大赛，含金量在不断上升，参与的人数也在逐渐增多。前面说了，蓝桥杯大赛是个人赛，相对来说参加门槛低，分组的赛制对参赛选手也更加友好。但是，这并不意味着你可以高枕无忧。毕竟，没有人能随随便便成功。攻略和建议如下：

第一，当然是报名啦。有的朋友，准备得很充分，准备上战场的时候，才发现忘了报名或者错过报名时间。如果院校不组织参加，自己也可以选择个人报名，千万别忘记到官网报名。否则一失足成心头恨，再回首已是深秋。

第二，要充分掌握竞赛设涉及到的一些语言，熟练使用一些API, 这些东西，并不需要你死记硬背(比赛会提供相关的API说明)，但肯定要有一个大概的印象。

第三，算法很重要，很重要，很重要。自己平时可以多找一些算法相关的书籍看看，对常用常见常考的算法，做到了如指掌，这样才能才大赛时随机应变。

第四，搞懂了基本的算法之后，还得实战，那就要大量刷题，刷题，刷题。蓝桥杯大赛官网有历年真题，只有通过大量刷题，才能举一反三，触类旁通，即使大赛遇到陌生题目，也不担心。

四. 关于蓝桥杯的结语

人生本来就是各种经历，大学是人生中最美好的阶段，对于身处IT浪潮中的同学而言，愿大家不负韶华，珍惜机会，丰富经历。希望有志青年，在蓝桥杯大赛中，碰撞出璀璨的智慧火花。