机器人修正DH参数(MDH)和标准DH(SDH)参数

Denavit-Hartenberg方法

1.1 修正DH参数——定义关节i的轴为$z_i$轴(最后一个坐标系{n}在关节n处）

1.1.1 连杆坐标系定义

• (a) 运动链中间位置连杆坐标系{$i$}的定义

  固连在连杆i上的固连坐标系称为坐标系{$i$}
  $O_i$原点：关节轴i和i+1的交点或关节轴i和i+1公垂线与关节轴i的交点
  ${\hat{Z}}_i$轴：关节轴$i$
  ${\hat{X}}_i$轴：沿${\hat{Z}}_i$和${\hat{Z}}_{i+1}$的公垂线$a_i$方向由关节$i$指向关节$i+1$，当$a_i=0$时，${\hat{X}}_i$垂直于${\hat{Z}}_i$和${\hat{Z}}_{i+1}$所在的平面
  ${\hat{Y}}_i$轴：根据右手法则确定
  ${\alpha }_i$：根据右手定则，绕${\hat{X}}_i$轴从${\hat{Z}}_{i-1}$到${\hat{Z}}_i$

• （b） 运动链首段连杆{$0$}坐标系的定义（${\hat{Z}}_0$与${\hat{Z}}_1$同向）

  固连于机器人基座（即连杆0）上的坐标系为坐标系{0}，该坐标系可做参考坐标系。
  设定${\hat{Z}}_0$沿关节轴1的方向，当关节变量1（$d_1$或 ${\theta }_1$）为0时，设定参考坐标系{0}与{1}重合。总有$a_0={\alpha }_0=0$，当关节1为移动关节时，${\theta }_1=0$，当关节1为转动关节时，$d_1=0$

（c） 运动链末端连杆{$n$}坐标系的定义（${\hat{X}}_N$和${\hat{X}}_{N-1}$同向）

{n}坐标原点选取在${\hat{X}}_{N-1}$轴与关节轴n的交点位置，使得$d_n=0$，总有$a_n={\alpha }_n=0$
对于转动关节n，始终有$d_n=0$，当${\theta }_n=0$时，设定${\hat{X}}_N$和${\hat{X}}_{N-1}$同向，选取坐标原点位置为${\hat{X}}_{N-1}$轴与关节轴n的交点位置。
对于移动关节n，始终有${\theta }_n=0$，当$d_n=0$时，设定${\hat{X}}_N$和${\hat{X}}_{N-1}$同向，选取坐标原点位置为${\hat{X}}_{N-1}$轴与关节轴n的交点位置。

1.1.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法

如果按照上述方法将两岸坐标系固定于连杆上时，连杆参数可以定义为

1. $a_{i-1}$：沿${\hat{X}}_{i-1}$轴，从${\hat{Z}}_{i-1}$移动到${\hat{Z}}_i$的距离，通常取正值；

2. ${\alpha }_{i-1}$：绕${\hat{X}}_{i-1}$轴，从${\hat{Z}}_{i-1}$旋转到${\hat{Z}}_i$的角度，采用右手法则判断正负；

3. $d_i$：沿${\hat{Z}}_i$轴，从${\hat{X}}_{i-1}$移动到${\hat{X}}_i$的距离；

4. ${\theta }_i$：绕${\hat{Z}}_i$轴，从${\hat{X}}_{i-1}$旋转到${\hat{X}}_i$的角度，采用右手法则判断正负；

1.1.3 建立连杆坐标系的步骤

现根据关节轴确定Z轴，再跟相邻关节轴之间的公垂线确定X轴。具体步骤如下：

1. 找出各关节轴， 并标出（或画出）这些轴线的延长线。 在下面的步骤2至步骤5中，仅考虑两个相邻的轴线（关节轴$i$和$i+1$)；

2. 找出关节轴$i$和$i+1$之间的公垂线$a_i$或关节轴$i$和$i+1$的交点， 以关节轴$i$和$i+1$的交点或公垂线$a_i$与关节轴$i$的交点作为连杆坐标系{$i$}的原点；

3. 规定${\hat{Z}}_i$轴沿关节轴i的指向；

4. 规定${\hat{X}}_i$轴沿公垂线$a_i$的指向， 如果关节轴i和i+1相交， 则规定${\hat{X}}_i$轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面；

5. 按照右手定则确定${\hat{Y}}_i$轴；

6. 当第一个关节变量为 0 时， 规定坐标系｛0｝和｛1｝重合。 对于坐标系｛N｝， 其原点和的${\hat{X}}_N$方向可以任意选取。 但是在选取时， 通常尽量使连杆参数为0。

1.1.4 连杆变换的推导

通过定义三个中间坐标系{P},{Q},{R}建立坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的变换：
{i}沿${\hat{Z}}_i$平移$d_i$得到{P}，{P}绕${\hat{Z}}_P$旋转${\theta }_i$得到{Q}，{Q}沿${\hat{X}}_Q$平移$a_{i-1}$得到{R}，{R}绕${\hat{X}}_R$旋转${\alpha }_{i-1}$得到{i-1}

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其中，
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1.2. 标准DH参数——定义关节i的轴为$z_{i-1}$轴（最后一个坐标系{n}在连杆n的末端）

1.2.1 连杆坐标系定义

• （a）运动链中间位置连杆坐标系{$i$}的定义

  ${\hat{Z}}_i$轴：关节轴$i+1$
  ${\hat{X}}_i$轴：沿轴$z_{i-1}$和轴$z_i$的公垂线$a_i$方向由关节$i$指向关节$i+1$，当$a_i=0$时，即轴$z_{i-1}$和轴$z_i$相交时，${\hat{X}}_i$垂直于${\hat{Z}}_{i-1}$和${\hat{Z}}_i$所在的平面
  ${\hat{Y}}_i$轴：根据右手法则确定
  $O_i$点：在关节$i+1$的轴$Z_i$轴与公垂线$a_i$的交点

• （b）运动链首段连杆{$0$}坐标系的定义

  设定${\hat{Z}}_0$沿关节轴1的方向，$O_0$和${\hat{X}}_0$可以任意选择

• （c）运动链末端连杆末端执行器手部{$n$}坐标系的定义

  对坐标系{n}而言，由于没有关节n+1，但x_n轴必须与轴$z_{n-1}$垂直，但$z_n$不是唯一定义的，当关节n是转动的，$z_n$依照$z_{n-1}$的方向设置

1.2.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法

如果按照上述方法将连杆坐标系固定于连杆上时，下标为i的连杆参数可以由坐标系$i$和坐标系$i-1$的位置和方向定义为

1. $a_i$：沿${\hat{X}}_i$轴，从${\hat{Z}}_{i-1}$移动到${\hat{Z}}_i$的距离，Link_i的长度，通常取正值；

2. ${\alpha }_i$：绕${\hat{X}}_i$轴，从${\hat{Z}}_{i-1}$旋转到${\hat{Z}}_i$的角度，采用右手法则判断正负；

3. $d_i$：沿${\hat{Z}}_{i-1}$轴，从${\hat{X}}_{i-1}$移动到${\hat{X}}_i$的距离，即$x_{i-1}$和$x_i$与$z_{i-1}$轴交点的距离；

4. ${\theta }_i$：绕${\hat{Z}}_{i-1}$轴，从${\hat{X}}_{i-1}$旋转到${\hat{X}}_i$的角度，采用右手法则判断正负；

4 个参数中有2 个（$a_i$和${\alpha }_i$〉始终为常数，只取决于由连杆i建立的相继关节之间的几何连接关系。其他两个参数中只有一个是变量，取决于连接连杆i-1 和连杆i 的关节的类型。详述如下：

• 如果关节i 是转动型的， 则变最为${\theta }_i$。
• 如果关节i 是移动型的，则变量为$d_i$。

1.2.3 建立连杆坐标系的步骤

3.1.2.4 连杆变换的推导

i i − 1 T ( q i ) = R Z ( θ i ) D Z ( d i ) R Z ( α i ) D X ( a i ) = [ c θ i − s θ i 0 0 s θ i c θ i 0 0 0 0 1 d i 0 0 0 1 ]   [ 1 0 0 a i 0 c α i − s α i 0 0 s α i c α i 0 0 0 0 1 ] = [ c θ i − s θ i c α i s θ i s α i a i c θ i s θ i c θ i c α i − c θ i s α i a i s θ i 0 s α i c α i d i 0 0 0 1 ]

$$\begin{aligned} _i^{i-1}T(q_i)&=R_Z(\theta_i)D_Z(d_i)R_Z(\alpha_{i})D_X(a_{i})\\ & \left.=\quad\left[\begin{array}{cccc}c_{\theta_i} & -s_{\theta_i} & 0 & 0 \\ s_{\theta_i} & c_{\theta_i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right] \ \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & c_{\alpha_i} & -s_{\alpha_i} & 0 \\ 0 & s_{\alpha_i} & c_{\alpha_i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ & \left.=\quad\left[\begin{array}{cccc}c_{\theta_i} & -s_{\theta_i}c_{\alpha_i} & s_{\theta_i}s_{\alpha_i} & a_ic_{\theta_i} \\ s_{\theta_i} & c_{\theta_i}c_{\alpha_i} & -c_{\theta_i}s_{\alpha_i} & a_is_{\theta_i} \\ 0 & s_{\alpha_i} & c_{\alpha_i} & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right]\end{aligned}$$ ii−1​T(qi​)​=RZ​(θi​)DZ​(di​)RZ​(αi​)DX​(ai​)= ​cθi​​sθi​​00​−sθi​​cθi​​00​0010​00di​1​ ​  ​1000​0cαi​​sαi​​0​0−sαi​​cαi​​0​ai​001​ ​= ​cθi​​sθi​​00​−sθi​​cαi​​cθi​​cαi​​sαi​​0​sθi​​sαi​​−cθi​​sαi​​cαi​​0​ai​cθi​​ai​sθi​​di​1​ ​​

从坐标系 i 到坐标系i - 1 的变换矩阵是一个只与关节变量$q_i$有关的函数，如果是
转动关节则变量为${\theta }_i$， 如果是移动关节则变量为$d_i$。

1.3 MDH和SDH两者对比

1.3.1 平面3R机器人

• 标准DH参数

• 修正DH参数
  待补充