《算法导论》第18章 B树 个人笔记

第18章 B树

18.1 B树的定义

一棵B树T是具有以下性质的有根树（根为T.root）；
1、 每个结点x有下面属性：

• $x.n$，当前存储在结点x中的关键字个数
• $x.n$个关键字本身$x.key_1\leq x.key_2\leq ...\leq x.key_{x.n}$
• $x.leaf$，一个布尔值，如果x是叶节点，则为TRUE，否则为FALSE

2、每个内部结点x还包含$x.n+1$个指向其孩子的指针$x.c_1,x.c_2,..,x.c_{x.n+1}$。叶节点没有孩子，所以它们的$c_i$属性没有定义
3、 关键字$x.key_i$对存储在各子树中的关键字范围加以分割：如果$k_i$为任意一个存储在以$x.c_i$为根的子树中的关键字，那么有

$$k_1\leq x.key_1\leq k_2\leq x_key_2\leq ...\leq x.key_{x.}\leq k_{x.n+1}$$
4、每个叶节点具有相同的深度，即树的高度h
5、每个结点所包含的关键字个数有上届和下界，用一个被称为B树的最小度数的固定整数 $t\geq2$来表示这些界：

• 除了根结点以外的每个结点必须至少有t-1个关键字。因此，除了根结点以外的每个内部结点至少有t个孩子。如果树非空，根结点至少有一个关键字。
• 每个结点至少可包含2t-1个关键字。因此，一个内部结点至多可有2t个孩子。当一个结点恰好有2t-1个关键字时，则称该结点是满的。

定理：如果$n\geq 1$，那么对任意一棵包含n个关键字、高度为h、最小度数$t\geq 2$的B树T，有$h\leq \log_t\frac{n+1}{2}$

18.2 B树上的基本操作

1、搜索B树

B-TREE-SEARCH(x,k)
i = 1
while i<=x.n && k > x.key[i]
    i++
if i <= x.n and k = x.key[i]
    return (x,i)
elif x.leaf
    reurn NIL
else DISK-READ(x.c[i])
    return B-TREE-SEARCH(x.c[i],k)
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2、创建一棵空的B树

B-TREE-CREATE(T)
x = ALLOCATE-NODE()
x.leaf = TRUE
x.n = 0
DISK-WRITE(x)
T.root = x
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3、向B树中插入一个关键字

• 分裂B树中的结点

B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i)
z = ALLOCATE-NODE()
y = x.c[i]
z.leaf = y.leaf
z.n = t-1
for j=1 to t-1
    z.key[i]=y.key[t+j]
if !y.leaf
    for j=1 to t
        z.c[j]=y.c[t+j]
y.n = t-1
for j = x.n+1 downto i+1
    x.key[j+1] = x.key[j]
x.c[i+1] = z
for j = x.n downto i
    x.key[j+1] = x.key[j]
x.key[i] = y.key[t]
x.n++
DISK-WRITE(y)
DISK-WRITE(z)
DISK-WRITE(x)
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• 沿树单程下行方式向B树插入关键字

B-TREE-INSERT(T,k)
r = T.root
if r.n == 2t-1
    s = ALLOCATE-NODE()
    T.root = s
    s.leaf = FALSE
    s.n = 0
    s.c = r
    B-TREE-SPLIT-CHILD(s,1)
    B-TREE-INSERT-NONFULL(s,k)
else B-TREE-INSERT-NONFULL(r,k)

B-TREE-INSERT-NONFULL(x,k)
i = x.n
if x.leaf
    while i>=1 && k<x.key[i]
        x.key[i+1] = x.key[i]
        i--
    x.key[i+1] = k
    x.n++
    DISK-WRITE(x)
else 
    while i>=1 && k<x.key[i]
        i--
    i++
    DISK-READ(x.c[i])
    if x.c[i].n = 2t-1
        B-TREE-SPLIT-CHILD(x,i)
        if k > x.key[i]
            i++
    B-TREE-INSERT-NONFULL(x.c[i],k)
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