查找算法---(图解)斐波那契查找

斐波那契查找算法

斐波那契查找原理与二分查找相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近。

黄金分割点

我们知道，斐波那契数列 F(k)={1，1，2，3，5，8，13，21…}，(从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和)。
F[k] = F[k-1] + F[k-2]
恰巧斐波那契数列前一项/后一项的值越来越接近黄金比例，即0.618。

前提要求

1. 待查找表为有序表。这点毋庸置疑。
2. 它要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，即n=F(k)-1。
    
   为什么要求n=F(k)-1
   假如待查找数组长度为F(k),
   不考虑mid的情况下，左边为F(k - 1),右边为F(k -2),
   考虑mid的情况下，要不左边是F(k-1) - 1或者右边是F(k - 2) - 1 ，逻辑不好写。
    
   但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。
   这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可
    

基本思路

斐波那契查找关键就在要找到mid的位置。
在n=F(k)-1情况下，mid = low + F[k-1] - 1，我们就得到了mid的位置
 
但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。
这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可

 
可能有人要问mid = low + F[k-1] - 1怎么来的？
接下来我们图解一下：

接下来 将带查找值key与mid的值比较：
1.<    high=mid-1,k-=1;
   说明:low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。
 
2.相等   mid位置的元素即为所求。
 
3. >     low=mid+1,k-=2;
   说明:low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,hign]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-（F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。
 
 

代码

public class FibSearch {
    public static int maxSize = 20; //假定斐波那契数列大小为20

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 8, 48, 88, 89, 899, 1024};
        System.out.println("index="+fibSearch(arr,1024));
    }

    //首先得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    /**
     * @param arr 数组
     * @param key key我们需要查找的值
     * @return 返回对应下标，未找到返回-1
     */
    public static int fibSearch(int[] arr, int key) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        int k = 0;  //表示斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0;    //存放mid值

        //获取斐波那契数列
        int f[] = fib();

        //获取斐波那契分割数值的下标
        while (high > f[k] - 1) {
            k++;
        }

        //因为f【k】，可能大于数组长度，因此需要不齐
        //不足部分使用0填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
        //用数组最后的数 填充temp
        //举例：
        //temp={1, 8, 48, 88, 89, 899, 1024，0，0} => {1, 8, 48, 88, 89, 899, 1024，1024，1024}
        for (int i = high+1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = arr[high];
        }

        //使用whlie循环找到key
        while (low <= high) {
            mid = low + f[k - 1] - 1;//得到mid的下标

            if (key < temp[mid]) {//继续向数组前部分查找（左边）
                high = mid - 1;
                //为什么是k--;
                //说明：
                //1.全部元素=前边元素+后边元素
                //2.f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因为前面的 f[k-1] 个元素，所以我们可以继续拆分，f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即再f[k-1]的前面继续查找，k--
                k--;
            }else if (key>temp[mid]){//继续向数组后部分查找（右边）
                low = mid + 1;
                //为什么是k-2；
                //说明：
                //1.全部元素=前边元素+后边元素
                //2.f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3.后面右 f[k-2] 个元素，继续拆分
                //即下次循环 mid = f[k-1-2] - 1。
                k -= 2;
            }else{//找到
                //需要确定，返回哪个值
                if(mid<=high){
                    return mid;
                }else{
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}
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