【数学建模】基本模型学习笔记（Python编程）_python的基本模型

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$$一$$

1 层次分析法

1.1 题目

• 建模步骤
  

• 建立层次结构模型
  目标：选择合适的旅游地
  从上至下，依次为目标层、准则层、方案层。（有没有觉得这个图很漂亮？中途安利一个在线绘图网站【点我】）
  

• 构造成对比较矩阵

根据已建立的模型，通过查找资料，并对大量数据进行分析，得到如下成对比较矩阵。（数据来源于参考文献）
1）C层：以$Z$为目标，你认为$Ci比Cj$重要多少？
C Z = C 5 × C 5 = [ 1 1 2 4 3 3 2 1 7 5 5 1 4 1 7 1 1 2 1 3 1 3 1 5 2 1 1 1 3 1 5 3 1 1 ] C_{Z}=C_{5} \times C_{5}=

$$\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2} &4 &3 &3 \\ 2 &1 &7 &5 &5 \\ \frac{1}{4} &\frac{1}{7} &1 &\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{5} &2 &1 &1 \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{5} &3 &1 &1 \end{bmatrix}$$ CZ​=C5​×C5​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1241​31​31​​21​171​51​51​​47123​3521​11​3531​11​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

2）P层：以$C_1$为目标，你认为$Pi比Pj$重要多少？
P A 1 = P 3 × P 3 = [ 1 2 5 1 2 1 2 1 5 1 2 1 ] P_{A1}=P_{3} \times P_{3} =

$$\begin{bmatrix} 1 &2 &5 \\ \frac{1}{2} &1 &2 \\ \frac{1}{5} &\frac{1}{2} &1 \end{bmatrix}$$ PA1​=P3​×P3​=⎣⎡​121​51​​2121​​521​⎦⎤​

同理，分别以$A_{2-5}$为目标，你认为$Bi比Bj$重要多少？
P A 2 = [ 1 1 3 1 8 3 1 1 3 8 3 1 ] P A 3 = [ 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 ] P A 4 = [ 1 3 4 1 3 1 1 1 4 1 1 ] P A 5 = [ 1 1 1 4 1 1 1 4 4 4 1 ] P_{A2}=

$$\begin{bmatrix} 1 &\frac{1}{3} &\frac{1}{8} \\ 3 &1 &\frac{1}{3} \\ 8 &3 &1 \end{bmatrix}$$ P_{A3}= $$\begin{bmatrix} 1 &1 &3 \\ 1 &1 &3 \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{3} &1 \end{bmatrix}$$ P_{A4}= $$\begin{bmatrix} 1 &3 &4 \\ \frac{1}{3} &1 &1 \\ \frac{1}{4} &1 &1 \end{bmatrix}$$ P_{A5}= $$\begin{bmatrix} 1 &1 &\frac{1}{4} \\ 1 &1 &\frac{1}{4} \\ 4 &4 &1 \end{bmatrix}$$ PA2​=⎣⎡​138​31​13​81​31​1​⎦⎤​PA3​=⎣⎡​1131​​1131​​331​⎦⎤​PA4​=⎣⎡​131​41​​311​411​⎦⎤​PA5​=⎣⎡​114​114​41​41​1​⎦⎤​

• 计算权重向量&一致性检验
  ①A的列向量归一化
  ②求行和，然后归一化得到权重向量w
  ③根据特征值定义求得w对应特征值，即为最大特征值λ（近似）。
  $$w=\left[\begin{array}{c}0.263\\ 0.475\\ 0.055\\ 0.090\\ 0.110\end{array}\right]$$
  $$\lambda =5.073$$
  一致性指标,nXn矩阵：CI = (λ-n)/(n-1)
  $$CI=\frac{5.073-5}{5-1}=0.018$$
  随机一致性指标（查表）nXn矩阵
  $$RI=1.12$$
  一致性比率，不通过要重新构建成对比较矩阵
  $$CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.016<0.1(通过一致性检验）$$

注：按照相同方法计算$B_{1-5}$权重向量和对应特征值，并分析一致性。

• 计算组合权重向量
  目标：求方案层$B1,B2,B3$分别对于目标层$Z$的权重
  举例：$B1$对于$A1,A2,A3,A4,A5$的权重分别乘以$A1,A2,A3,A4,A5$相对于$Z$的权重。
  $$B_{1\to Z}=0.595\times 0.263+0.082\times 0.475+0.429\times 0.055+0.633\times 0.099+0.166\times 0.110=0.3$$

根据上理，分别求出$B对Z$权重即可
(不知不觉写了好多推导过程，虽然都是参考别人的，但还是耗费太多时间，后面我尽量减少过程，直接建模）

1.2 Python源码

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
输入成对比较矩阵（list），输出一致性比率和权重向量，输入list为单行形式
如：[[1,2,5], [1/2,1,2], [1/5,1/2,1]]
提示：对特征向量的不同求解方法将会得到不同权重向量
"""
import numpy as np

# 随机一致性指标
RI_dict = {1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12,
           6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45, 10: 1.49, 11: 1.51}


def get_w(array):
    """
    1.列向量归一化
    2.求每行元素之和归一化得到权重向量w
    3.根据特征值定义求w对应的特征值即为最大特征值 λ
    """
    row = array.shape[0]  # 计算出阶数
    a_axis_0_sum = array.sum(axis=0)  # 1.列元素和 向量
    b = array / a_axis_0_sum  # 1.列向量归一化
    b_axis_1_sum = b.sum(axis=1)  # 2.每一行元素之和
    w = b_axis_1_sum / row  # 2.归一化处理(获得权重向量向量)提示：经过1的归一化后，矩阵所有元素之和为矩阵阶数，因此除以阶数
    AW = (w * array).sum(axis=1)  # 行和
    max_max = sum(AW / (row * w))  # 获得对应的特征值，即最大特征值
    CI = (max_max - row) / (row - 1)
    CR = CI / RI_dict[row]
    if CR < 0.1:
        print("一致性比率为：{0}".format(round(CR, 3)))
        print('满足一致性')
        return w
    else:
        print("一致性比率为：{0}".format(round(CR, 3)))
        print('不满足一致性，请进行修改')


def main(array):
    if type(array) is np.ndarray:
        return get_w(array)
    else:
        print('请输入numpy对象')


if __name__ == '__main__':
    matrix = np.array(eval(input("输入成对比较矩阵：")))
    print("权重向量：{0}".format(main(matrix)))

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2 多属性决策法

2.1 题目

突然发现2019年亚太杯（APMCM）第B题三问可以用这个模型。本文不讨论APMCM，因为他的数据太多，太耗费时间，有兴趣的可以百度看看。如果有时间我再用这个模型复现一下那道题。/flag1
本文讨论的题目：对4家企业进行投资评估（来自参考视频）

• 属性值归一化
  有4家企业 $x_1,x_2,x_3,x_4$，分别有5项属性 产值（万元），投资成本（万元），销售额（万元）， 国家收益比重， 环境污染程度。

现对数据进行归一化处理。
不同数据，不同归一算法。
$$效益型：r_{ij}=\frac{a_{ij}}{max(a_{ij})}或r_{ij}=\frac{a_{ij}-min(a_{ij})}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}$$

$$成本型：r_{ij}=\frac{min(a_{ij})}{a_{ij}}或r_{ij}=\frac{max(a_{ij})-a_{ij}}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}$$

$$固定型：r_{ij}=1-\frac{a_{ij}-{\alpha }_j}{max(|a_{ij}-{\alpha }_j|)}({\alpha }_j为固定标准）$$

$$偏离型：r_{ij}=|a_{ij}-{\beta }_j|-\frac{min(|a_{ij}-{\beta }_j|)}{max(|a_{ij}-{\beta }_j|)-min(|a_{ij}-{\beta }_j|)}$$

区 间 型 ： r i j = { 1 − m a x ( q 1 j − a i j , a i j − q 2 j ) m a x [ q 1 j − m i n ( a i j ) , m a x ( a i j ) − q 2 j ] , a i j ∉ [ q 1 j , q 2 j ] 1 , a i j ∈ [ q 1 j , q 2 j ] 区间型： r_{ij}= \left\{

$$\begin{matrix} 1 - {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}} ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}] \end{matrix}$$ \right. 区间型：rij​=⎩⎪⎨⎪⎧​1−max[q1j​−min(aij​),max(aij​)−q2j​]max(q1j​−aij​,aij​−q2j​)​,aij​∈/​[q1j​,q2j​]1,aij​∈[q1j​,q2j​]​

偏 离 区 间 型 ： r i j = { m a x ( q 1 j − a i j , a i j − q 2 j ) m a x [ q 1 j − m i n ( a i j ) , m a x ( a i j ) − q 2 j ] , a i j ∉ [ q 1 j , q 2 j ] 1 , a i j ∈ [ q 1 j , q 2 j ] 偏离区间型： r_{ij}= \left\{

$$\begin{matrix} {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}} ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}] \end{matrix}$$ \right. 偏离区间型：rij​=⎩⎪⎨⎪⎧​max[q1j​−min(aij​),max(aij​)−q2j​]max(q1j​−aij​,aij​−q2j​)​,aij​∈/​[q1j​,q2j​]1,aij​∈[q1j​,q2j​]​
易知，投资成本u2和污染程度u5为成本型，其余为效益型，得到归一后数据

• 计算属性权重
  和①一样，构造成对比较矩阵，然后计算权重向量。
  $u_1到u_5权重为[0.4286,0.1429,0.1429,0.1429,0.1429{]}^T$
• 信息集结
  采用加权算术平均算子（WAA），即数据乘以权重，然后相加得到评估分数。
  此外，还有其他集结信息的方式，比如加权几何平均(WGA)算子：有序加权平均(OWA)算子。

2.2 Latex公式源码

多属性决策主要源码和①层次分析法一样，关于归一化方法还要具体情况具体分析，很难设计出通用源码。因此Python源码可参考1.2, 下面提供一些Latex公式源码

$$
效益型：   r_{ij}= \frac{a_{ij}}{max(a_{ij})}  或  r_{ij}= \frac{a_{ij}-min(a_{ij})}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}
$$

$$
成本型：   r_{ij}= \frac{min(a_{ij})}{a_{ij}}  或  r_{ij}= \frac{max(a_{ij})-a_{ij}}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}
$$

$$
固定型：   r_{ij}= 1- \frac{a_{ij} - \alpha_{j}}{max(|a_{ij}-\alpha_{j}|)}(\alpha_{j} 为固定标准）
$$

$$
偏离型：   r_{ij}= |a_{ij}-\beta_{j}| -\frac{min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}{max(|a_{ij}-\beta_{j}|)-min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}
$$

$$
区间型：   r_{ij}= 
\left\{\begin{matrix}
  1 - {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}}  ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 
 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]
\end{matrix}\right.
$$

$$
偏离区间型：   r_{ij}= 
\left\{\begin{matrix}
 {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}}  ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 
 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]
\end{matrix}\right.
$$
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$$二$$

3 图论-dijstra

3.1 题目

• 找出v1到v11的最短路径(来源于参考视频)
  
• 构造带权邻接矩阵
  

3.2 Python源码

"""
修改最下面的带权邻接矩阵
输出0→n最短路径长度和步骤
"""
import numpy as np

Inf = np.Inf  # 无穷大
P = 1         # P标记
Q = 0         # Q标记


def dijkstra(matrix):
    m = np.array(matrix)  # 转化为矩阵
    n = m.shape[0]        # 获取矩阵阶数

    book = np.zeros(n)  # 记录P标记和Q标记
    book[0] = P         # 初始点标记P

    route = np.zeros_like(book)  # 记录路径

    # 循环（阶数-1）次
    for x in range(n - 1):
        min_m = Inf  # 距离初始点距离最小值

        for j in range(n):
            if book[j] == 0 and m[0][j] < min_m:
                min_m = m[0][j]  # 记录最近值
                u = j  # 记录最近点
        book[u] = P    # 将该点标记P

        for v in range(n):
            if m[u][v] < Inf:
                if m[0][v] > m[0][u] + m[u][v]:
                    # 如果（0→v）的距离大于（0→u→v），则松弛v
                    m[0][v] = m[0][u] + m[u][v]
                    route[x] = u  # 记录路径

    print("0到n的最短路径长度为：", m[0])  # 输出最短路径长路
    print("0到n的最短路径为：", route)    # 输出路径


"""
带权邻接矩阵
"""
k = [[0, 2, 8, 1, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [2, 0, 6, Inf, 1, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [8, 6, 0, 7, 5, 1, 2, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [1, Inf, 7, 0, Inf, Inf, 9, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [Inf, 1, 5, Inf, 0, 3, Inf, 2, 9, Inf, Inf],
     [Inf, Inf, 1, Inf, 3, 0, 4, Inf, 6, Inf, Inf],
     [Inf, Inf, 2, 9, Inf, 4, 0, Inf, 3, 1, Inf],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, 2, Inf, Inf, 0, 7, Inf, 9],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, 9, 6, 3, 7, 0, 1, 2],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, 1, Inf, 1, 0, 4],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, 9, 2, 4, 0]]

dijkstra(k)
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56
57
'
运行
运行

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正在更新中……

4 图论-Floyd

4.1 题目

4.2 Python源码