2024华数杯大学生数学建模竞赛（A题）数学建模完整思路+完整代码全解全析_2024华数杯a题

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其中，n为机器臂的自由度，α、a、d、θ分别对应D-H参数矩阵的四列。根据题目给出的零位状态，可以将关节角度代入公式中，计算出末端位置坐标。

接下来，需要确定末端误差的计算方法。根据题目描述，末端误差指目标点坐标与机器臂端部坐标之间的欧式距离。

其中，(x,y,z)为末端位置坐标，(x_target, y_target, z_target)为目标点坐标。

最后，需要确定关节角路径的优化方法。根据题目要求，需要使末端误差最小化，因此可以使用数值优化方法求解最优关节角度。常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法等。具体使用哪种方法，需要根据具体情况来决定。在这里，我们可以使用scipy库中的optimize模块来实现数值优化，例如使用scipy.optimize.minimize方法来求解关节角路径的最优值。

综上，可以使用Python代码来实现第一个问题的求解过程，具体代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
 
# 机器臂的D-H参数矩阵
dh_params = np.array([[0, 0, 600, -160, 160],
                      [300, -90, 0, -150, 15],
                      [1200, 0, 0, -200, 80],
                      [300, -90, 1200, -180, 180],
                      [0, -90, 0, -120, 120],
                      [0, -90, 0, -180, 180]])
 
# 零位状态下的关节角度
theta = np.array([0, -90, 0, 180, -90, 0])
 
# 计算末端位置坐标
def forward_kinematics(theta):
    # 正运动学模型公式
    n = len(theta)
    T = np.eye(4)
    for i in range(n):
        alpha = dh_params[i, 0]
        a = dh_params[i, 1]
        d = dh_params[i, 2]
        theta_i = np.deg2rad(theta[i])
        T_i = np.array([[np.cos(theta_i), -np.sin(theta_i) * np.cos(alpha), np.sin(theta_i) * np.sin(alpha), a * np.cos(theta_i)],
                        [np.sin(theta_i), np.cos(theta_i) * np.cos(alpha), -np.cos(theta_i) * np.sin(alpha), a * np.sin(theta_i)],
                        [0, np.sin(alpha), np.cos(alpha), d],
                        [0, 0, 0, 1]])
        T = T @ T_i
    # 提取末端位置坐标
    x = T[0, 3]
    y = T[1, 3]
    z = T[2, 3]
    return x, y, z
 
# 计算末端误差
def end_effector_error(theta):
    # 目标点坐标
    x_target = 1500
    y_target = 1200
    z_target = 200
    # 计算末端位置坐标
    x, y, z = forward_kinematics(theta)
    # 计算末端误差
    error = np.sqrt((x_target - x)**2 + (y_target - y)**2 + (z_target - z)**2)
    return error
 
# 使用数值优化方法求解关节角路径的最优值
result = minimize(end_effector_error, theta, method='CG')
print('最小化末端误差的最优关节角度：', result.x)
print('最小化末端误差值：', result.fun)

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