无穷小和无穷大·漫画_设lim x→x0f(x)=∞ 图像

无穷小

当$\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=0$，时称函数$f(x)$是$x\rightarrow x_{0}$的无穷下。

什么意思呢？
就是说当$x\rightarrow x_{0}$，函数$f(x)$的绝对值可以是无穷小的数。

注意：
有限个无穷小的成绩/加和都为无穷小

无穷小的比较

想想当$x\rightarrow 0$时，$x，x^2，3sin x$都是无穷小，而它们取极限的结果是（$x\rightarrow 0$）：
$\lim \frac{x^2}{x}=0$
$\lim \frac{x}{x^2}=\infty$
$\lim \frac{3sin x}{x}=3$

虽然三个函数在x趋于0的时候都为无穷小，但取极限的比值不同。这反映了趋于0的速度的“快慢”不同。

常见的无穷小分类（$x\rightarrow x_{0}，\alpha (x),\beta (x)$都为无穷小）：

• 如果$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，则$\alpha (x)$为$\beta (x)$的高阶无穷小，记作$\alpha=o(\beta)$
• 如果$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$，则$\alpha (x)$为$\beta (x)$的低阶无穷小。
• 如果$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C(C\neq 0)$，则$\alpha (x)$为$\beta (x)$的同阶无穷小。
• 如果$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta ^k(x)}=C(C\neq 0,k>0)$，则$\alpha (x)$为$\beta (x)$的k阶无穷小。
• 如果$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，则$\alpha (x)$为$\beta (x)$的等价无穷小，记作$\alpha \sim \beta$。

当$x\rightarrow 0$时，常见的等价无穷小为：
$x\rightarrow sin x\rightarrow tanx\rightarrow arctanx\rightarrow ln(1+x)\rightarrow e^x-1$
$1-cosx\rightarrow \frac{1}{2}x^2$

无穷大

无穷大是什么呢？
当自变量趋于某一个值$x_{0}$的时候，函数值$f(x)$的绝对值大于任一给定的正数M，说明此时$f(x)$位$x\rightarrow x_{0}$的无穷大

如：

此时，当$x\rightarrow 0$时，函数$y=\frac{1}{x}$是$x\rightarrow 0$的无穷大。
即$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\infty$

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