关系模型之关系代数_差操作代数

一、关系代数概述

1.1 关系代数运算的特点

• 基于集合，提供了一系列的关系代数操作：并、差、笛卡尔积（广义积）、选择、投影和更名等基本操作
• 以及交、连接和关系除等扩展操作，是一种集合思维的操作语言
• 关系代数操作以一个或多个关系为输入，结果是一个新的关系
• 用对关系的运算来表达查询，需要指明所用操作，具有一定的过程性
• 是一种抽象的语言，是学习其他数据库语言，如SQL等的基础

1.2 关系代数运算的基本操作

• 集合操作
  • UNION(并)
  • INTERSECTION(交)
  • DIFFERENCE(差)
  • Cartesian PRODUCT(笛卡尔积)
• 纯关系操作
  • PEOJECT(投影)
  • SELECT(选择)
  • JOIN(连接)
  • DIVISION(除)

二、关系代数之基本操作

2.1 关系代数运算的约束

• 某些关系代数操作，如并、差、交等，需满足"并相容性"
• 并相容性
  • 参与运算的两个关系及其属性之间有一定的对应性、可比性或意义关联性
  • 定义：关系R与关系S存在相容性，当且仅当：
    • 关系R和关系S的属性数目必须相同
    • 对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同

2.2 “并”操作

• 定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记作：，它由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成
• 数学描述：$R\cup S= \left \{ t\mid t\in R\vee t\in S \right \}$，其中t是元组
• 并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复元组
• 与运算的结果是同一个关系

• 汉语中的“或者...或者...”通常意义是并运算的要求

2.3 “差”操作

• 定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的差运算结果也是一个关系，记作：，它由出现在关系R中但不出现在关系S中的元组构成
• 数学描述：$R-S=\left \{ t\mid t\in R\wedge t\notin S \right \}$，其中t是元组
• 与是不同的

• 汉语中的“是...但不含...”通常意义是差运算的要求

2.4 “笛卡尔积”操作

• 定义：关系与关系的广义笛卡尔积（简称广义积，或笛卡尔积）运算结果也是一个关系，记作：，它由关系R中的元组与关系S的元组进行所有可能的拼接（或串接）构成
• 数学描述：$R\times S= \left \{ <a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{m}>\mid <a_{1},a_{2},...,a_{n}>\in R\wedge <b_{1},b_{2},...,b_{n}>\in S \right \}$

• 当一个检索涉及到多个表时（如果学生表和课程表），便需要将这些表串接或拼接起来，然后才能检索，这时，就要使用广义笛卡尔积运算
• $R\times S=S\times R$：为R中的每一个元组都和S中的所有元组进行串接。为S中的每一个元组都和R中的所有元组进行串接。结果是相同的。
• 两个关系R和S，它们的属性个数分别为n和m（R是n度关系，S是m度关系）
  • 则笛卡尔积的属性个数=n+m
• 两个关系R和S，它们的元组个数分别为x和y（关系R的基数x，S的基数y）
  • 则笛卡尔积的元组个数=x * y

2.5 “选择”操作

• 定义：给定一个关系R，同时给定一个选择的条件condition(简记con)，选择运算的结果也是一个关系，记作，它从关系R中选择除满足给定条件condition的元组构成
• 数学描述：$\sigma _{con}(R)=\left \{ t\mid t\in R\wedge con(t)='true') \right \}$
  • 设，t是R的元组，t的分量记为，或简写为
  • 条件con由逻辑运算符连接比较表达式组成
  • 逻辑运算符：，，┐或者写为and，or，not
  • 比较表达式：，其中X，Y是t的分量、常量或简单函数，是比较运算符，是比较运算符，$\theta \in \left \{ > ,\geq, <, \leq,= ,\neq \right \}$
• 选择操作从给定的关系中选出满足条件的行
• 条件的书写很重要，尤其是当不同的运算符在一起时，要注意运算符的优先次序，优先次序自高到低为{括弧；；┐；；}

2.6 “投影”操作

• 定义：给定一个关系R，投影运算结果也是一个关系，记作，它从关系R中选出属性包含在A中的列构成
• 数学描述：
  • 设
  • 
  • 表示元组t中相应于属性的分量
  • 投影运算后可以对原关系的列在投影后重新排列
• 投影操作从给定关系中选出某些列组成新的关系，而选择操作是从给定关系中选出某些行组成新的关系

三、关系代数之扩展操作

3.1 “交”操作

• 定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，记作：，它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成。
• 数学描述：$R\cap S=\left \{ t\mid t\in R\wedge t\in S \right \}$，t是元组
• 和运算的结果是同一个关系
• 交运算可以通过差运算来实现：$R\cap S=R-(R-S)=S-(S-R)$

• 交运算操作示例
• 查询即参加体育队又参加文艺队的学生信息

• 汉语中的“既...又...”，“...，并且...”通常的意义就是交运算的要求

3.2 “-连接”操作

• 投影与选择草醉哦只是对单个关系(表)进行操作，而实际应用中往往涉及多个表之间的操作，这就需要-连接操作
• 定义：给定关系R和关系S，R与S的连接运算结果也是一个关系，记作，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与S中属性B之间满足条件的元组构成
• 数学描述：

• 设，
• ，
• t是关系R中的元组，s是关系S中的元组
• 属性A和属性B是具有可比性
• 是比较运算符，$\theta \in \left \{ > ,\geq ,< ,\leq ,=,\neq \right \}$
• 在实际应用中，-连接操作经常与投影、选择操作一起使用
• -连接操作示例

• 更名操作：，将表SC更名为SC1
• 注意：在理解的时候可以使用笛卡尔积再进行选择来得到-连接结果，这只是为了方便理解，在DBMS中可以直接进行连接操作，而不必先形成笛卡尔积

3.3 等值连接

• 定义：给定关系R和关系S，R与S的等值连接运算结果也是一个关系，记作：，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取R中属性与A与S中的属性B上的值相等的元组所组成
• 数学描述：
• 当-丽娜姐中的运算符为"="时，就是等值连接，等值连接是-连接的一个特例
• 广义积的元组组合并不是都有意义的，另广义积的元组组合数目也非常庞大，因此采用-连接/等值连接运算可大幅度降低中间结果的保存量，提高速度
• 等值连接示例

3.4 自然连接

• 定义：给定关系R和关系S，R和S的自然连接运算结果也是一个关系，记作：$R\bowtie S$，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组B上值相等的元组所构成
• 数学描述：$R\bowtie S=\sigma _{t[B]=s[B]}\left ( R\times S \right )$
  • 自然连接是一种特殊的等值连接
  • 要求关系R和关系S必须有相同的属性组B（如R，S共有一个属性$B_1$，则B是$B_1$，如R，S共有一组属性$B_1,B_2,...,B_n$，则B是这些共有的所有属性
  • R，S属性相同，值必须相等才能连接，即：$R.B_1=S.B_1 and R.B_2=S.B_2 ... and R.B_n=S.B_n$才能连接
  • 要在结果中去掉重复的属性列（因结果中$R.B_1$始终是等于$S.B_1$所以可只保留一列即可）
• 自然连接操作示例

• 书写关系代数表达式的基本思路
  • 检索是否涉及多个表，如不涉及，则可直接采用并、差、交、选择与投影，只要注意条件书写是否正确即可
  • 如果涉及多个表，则检查
    • 能否使用自然连接，将多个表连接起来
    • 如不能，能否使用等值连接或-连接
    • 还不能，则使用广义笛卡尔积，注意相关条件书写
  • 连接完后，可以继续使用选择、投影等运算，即所谓数据库的“选投联”操作

四、关系代数之复杂扩展操作

4.1 “除”操作

• 除法运算经常用于求解“查询...全部的/所有的...”问题
• 前提条件：给定关系$R\left ( A_1,A_2,...,A_n \right )$为n度关系，关系为m度关系。如果可以进行关系R与关系S除运算，当且仅当：属性集$\left \{ B_1,B_2,...,B_m \right \}$是属性集$\left \{ A_1,A_2,...,A_n \right \}$的真子集，即m<n
• 定义：关系R和关系S的除运算结果也是一个关系，记作$R\div S$，分两部分来定义
  • 先定义$R\div S$结果的属性应该有哪些
  • 设属性集$\left \{ C_1,C_2,...,C_k \right \}=\left \{ A_1,A_2,...,A_n \right \}-\left \{ B_1,B_2,...,B_m \right \}$，则有k=n-m则$R\div S$结果关系是k度关系，由$\left \{ C_1,C_2,...,C_k \right \}$属性构成
  • 再定义$R\div S$元组怎样形成
  • 在设关系$R\left ( <a_1,...,a_n> \right )$和关系$S\left ( <b_1,...,b_m> \right )$，那么关系$R\div S$结果关系为元组$<c_1,...,c_k>$的集合，元组$<c_1,...,c_k>$满足下述条件：
    • 它与S中的每一个元组$<b_1,...,b_m>$组合形成一个新元组都是R中的某一个元组$<a_1,...,a_n>$。
  • 数学描述：$R\div S=\left \{ t\mid t\in \Pi _{R-S}(R)\wedge \forall u\in S(tu\in R) \right\}=\Pi _{R-S}(R)-\Pi _{R-S}((\Pi _{R-S}(R)\times S)-R)$
• 除操作示例

4.2 “外连接”操作

• 定义：两个关系R与S进行连接时，如果关系R（或S）中的元组在S（或R）中找不到相匹配的元组，则为了避免该元组信息丢失，从而将改元组与S（或R）中假定存在的全为空值的元组形成连接，放置在结果关系中，这种连接称之为外连接(Outer Join)

• 外连接=自然连接(或连接)+失配的元组(与全空元组形成的连接)
• 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
  • 左外连接=自然连接(或连接)+左侧表中失配的元组
  • 右外连接=自然连接(或连接)+右侧表中失配的元组
  • 全外连接=自然连接(或连接)+两侧表中失配的元组
• 外连接操作示例