数字图像处理中的常用特殊矩阵及MATLAB应用

一、前言

       Matlab的名称来源于“矩阵实验室（Matrix Laboratory）”，其对矩阵的操作具有先天性的优势（特别是相对于C语言的数组来说）。在数字图像处理中，为了提高编程效率，我们可以使用多种方式来创建特殊的矩阵或图像处理矩阵，如全零矩阵、全1矩阵、单位矩阵、空矩阵个、序列矩阵、稀疏矩阵、随机矩阵等。

二、特殊矩阵的生成及应用

1.全零矩阵

       元素全为零的矩阵称为全零矩阵，MATLAB可以使用zeros创建全零矩阵。如zeros(5),生成一个5×5的矩阵元素全为零的方阵，而zeros(3,4)则生成3×4的矩阵元素全为零的矩阵

       注意：如果使用zeros生成全零矩阵，其在MATLAB图像显示是黑色。

>> I=zeros(256,256);

>> imshow(I),title('全零矩阵图像')

2.全1矩阵

      元素全为1的矩阵称为全1矩阵，MATLAB可以使用ones创建全1矩阵。如ones(5),生成一个5×5的矩阵元素全为1的方阵，而ones(3,4)则生成3×4的矩阵元素全为1的矩阵。

注意：如果一个矩阵是全1矩阵，其在MATLAB图像显示是白色。

>> onesMatrix=ones(256,256);

>> figure,imshow(onesMatrix),title(‘全1矩阵’）

>> whos onesMatrix

       矩阵元素的数据类型为double，一个像素占8个Bytes。

3.单位矩阵

       如果一个方阵对角线上的元素全为1，而其他的元素全为零则称单位矩阵，MATLAB可以使用eys创建单位矩阵。

如eye(5),生成一个5×5的单位矩阵。

I=eye(5);

figure,imshow(I)

whos I

 

        矩阵元素的数据类型为double。

4. 空矩阵

空矩阵是指有一个或多个等于零的维度（0×0，0×1，1×0）

示例：

emptyMatrix=[]          %创建空矩阵

size(emptyMatrix)       %行列数都为0

length(emptyMatrix)     %矩阵长度为0

numel(emptyMatrix)      %元素个数为0

isempty(emptyMatrix)    %判断是否为空矩阵，返回逻辑值1（真）

5. 序列矩阵

在MATLAB中创建一个序列矩阵，可以使用冒号操作符 : 或者函数 linspace 和 meshgrid。以下是一些示例：

 5.1 创建一个1到20间隔为2的序列矩阵（从1开始）：

1)使用冒号操作符 “:”创建

>> A = 1:2:20;

2） 使用linspace函数创建

>> A=linspace(1,19,10) %保存10个数据

5.2 生成一个二维网格采样点矩阵和生成三维曲面图

       Matlab的meshgrid函数是用于生成网格坐标的函数，它可以将二维或三维数组作为输入，生成对应的网格坐标矩阵。这个函数在绘制三维图形、进行数值分析等方面有着广泛的应用。

语法格式: meshgrid(x, y)或meshgrid(X,Y,Z)

其中，x和y可以是任何一维或二维数组，分别表示x轴和y轴的坐标;X和Y可以是任何一维或二维数组，表示x轴和y轴坐标的范围;Z是可选的，如果提供，则生成三维图形的网格坐标矩阵。

示例1-生成二维网格采样点矩阵并绘制其矩阵点图

%使用meshgrid生成二维矩阵点并绘制二维坐标点图
clear all;
close all;
clc;
x=1:3;y=2:5;
 [X,Y]=meshgrid(x,y)
 plot(X,Y,'+','LineWidth',2,'Color','r'),title('显示meshgrid生成的二维网格点');
 xlim([-2,5]);
 ylim([-2,6]);
 grid on

上面程序运行结果如下所示：

    由上可知X和Y都是3行4列的矩阵，X矩阵的每一列值相同，分别是1、2和3，Y矩阵的每一行值都相同，分别是2、3、4和5，这是因为MATLAB的坐标原点是左上角，X正方向水平向右，Y正方向垂直向下。

示例2-生成三维曲面图：

[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -4:.4:4);

Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2);

surf(X,Y,Z)%创建三维曲面图

6. 稀疏矩阵

       稀疏矩阵—在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵;与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。MATLAB提供了sparse函数来创建稀疏矩阵。在MATLAB中，创建一个稀疏矩阵可以通过sparse函数实现，该函数接受行索引、列索引和非零值作为输入，并生成一个稀疏矩阵。

以下是创建稀疏矩阵的示例代码：

% 定义行索引、列索引和对应的值  

rows = [1; 3; 4; 5;6];  

cols = [1; 2; 3; 4; 8];  

values = [10; 20; 30; 35;40];  

% 使用sparse函数创建稀疏矩阵  

S = sparse(rows, cols, values);  

% 显示稀疏矩阵  

disp('显示稀疏矩阵的行列和非零值'),disp(S);  

% 如果你想要看到稀疏矩阵的完整形式（包括零），可以使用full函数  

disp('显示稀疏矩阵的完整形式'),disp(full(S));  

上面程序运行结果如下：

7.随机矩阵

       在MATLAB中，生成随机矩阵的常用函数是rand、randn、randi等。这些函数提供了不同的随机分布选项，以满足不同的应用需求，下面对上述各函数的含义和使用方法进行简要说明。

7.1 rand 函数

     rand函数生成均匀分布的随机数。其基本语法是rand(n)生成一个n×n的矩阵，rand(m,n)生成一个m×n的矩阵，而rand(size(A))生成与矩阵A相同大小的矩阵。

应用实例：生成一个5×5的均匀分布随机矩阵，并计算其均值和标准差。

MATLAB程序代码如下：

% 生成5x5的随机矩阵并计算其均值和标准差  

A = rand(5);  

% 计算均值  

%meanA = mean(A(:));  

meanA=mean2(A);  

% 计算标准差  

%stdA = std(A(:));  

stdA=std2(A);

disp('随机矩阵A:');  

disp(A);  

disp(['均值: ', num2str(meanA)]);  

disp(['标准差: ', num2str(stdA)]);

运行结果如下图所示：

7.2  randn

      randn（random normal distribution）是一种产生标准正态分布的随机数或矩阵的函数。randn函数生成标准正态分布的随机数（均值为0，标准差为1）。其语法与rand相同。

应用实例：生成一个10×10的标准正态分布随机矩阵，并计算其均值和标准差，并绘制其直方图以验证分布。

MATLAB程序代码如下：

% 生成10x10的标准正态分布随机矩阵  

B = randn(10,10);  %rand(10,10) 等价于rand(10)

meanB=mean2(B);   

stdB=std2(B);

% 绘制直方图  

figure;  

histogram(B(:), 'Normalization', 'pdf');  

title('标准正态分布随机矩阵的直方图');  

xlabel('值');  

ylabel('概率密度');

disp('随机矩阵B:');  

disp(B);  

disp(['均值: ', num2str(meanB)]);  %数据（n*n)不足够多，均值不绝对为0

disp(['标准差: ', num2str(stdB)]); %数据（n*n)不足够多，标准差不绝对为1

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