【机器学习】线性模型 |线性回归，逻辑回归，线性判别分析的各种线性回归的原理和使用示例全解析

线性模型我们主要讲解几个经典的线性模型

线性模型很大程度上是非线性网络，深度学习的基础~

主要有三个内容

• 1 线性回归（又分为一元线性回归和多元线性回归）

• 2 对数几率回归（也称为逻辑回归）

• 3 线性判别分析

1 经典线性模型

2.1 线性回归——线性模型解决回归问题（连续型）

2.1.1 基本原理

线性回归的原理很简单，数学表达式为

$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+...w_n{x}_n$（1）

其中，x是特征，$x_1,x_2...x_n$代表n个属性，每个属性前面有一个系数$w_i$

优化的时候我们最小化$f(x)$和真实标记$y_i$的差的平方（即最小二乘法）=》 $min(f(x_i)-y_i{)}^2$

我们见到的（1）往往是一个矩阵形式的运算

$f(x)=w^{T}x+b$

如果我们假设f（x）输出是在指数尺度上变换的，那么我们可以得到

$lnf(x)=w^{T}x+b$ ——对数线性回归，所以线性模型也不一定严格线性哦！

当然，我们通过一个生活中的例子来形象地理解线性回归。

2.1.2 使用示例–房价预测

假设你想要预测不同地区的房屋价格。你手头有一些历史数据，包括房屋的大小（平方米）、卧室数量、浴室数量以及它们的售价。我们的目标是建立一个模型，以便在给定新房屋的特征时，能够预测其可能的市场售价。

数据准备

首先，你需要收集数据。这些数据可能包括：

• 自变量（解释变量）：房屋的大小、卧室数量、浴室数量。
• 因变量（响应变量）：房屋的售价。

建立模型

接下来，你可以使用多元线性回归来建立一个模型。这个模型可能会是这样的：

$[\text{售价}=+{\omega }_1\times \text{房屋大小}+{\omega }_2\times \text{卧室数量}+{\omega }_3\times \text{浴室数量}+b]$

在这个模型中，$b$是截距，表示在没有卧室和浴室的情况下的基准价格。${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$是斜率，可以直观理解为表示房屋大小、卧室数量和浴室数量每增加一个单位，房屋售价平均增加的金额，同时这三个斜率里面越大的就越重要~

模型优化拟合

通过最小二乘法，你可以找到最佳的值，使得模型预测的售价与实际售价之间的误差最小。

2.2 逻辑回归——线性模型解决二分类问题（离散型）

2.2.1 基本原理

逻辑回归，又叫对数几率回归（注意，这里虽然叫回归（往往是连续型），但是是解决分类的离散型问题）

怎么实现的？

就是在线性回归的基础上，加一个单调可微函数将输出$f(x)$ 变换为真实值预测类别z，加的往往是一个对数几率函数

$z=\frac{1}{1+e^{f(x)}}$

优化用极大似然进行优化

2.2.2 使用示例——是否违约判断

让我们通过一个生动的例子来理解对数几率回归：假设你是一家银行的风险管理分析师，你的任务是评估贷款申请者违约的风险。在这个问题中，你的目标是预测申请者是否会违约（是或否），这是一个典型的二分类问题。

数据收集

首先，你需要收集贷款申请者的数据，这些数据可能包括：

• 年龄
• 职业
• 信用分数
• 月收入
• 负债比例（总负债/总收入）
• 贷款金额
• 房产情况（是否有房产）
• 以往的信用记录（是否有违约历史）

模型建立

接下来，你可以使用对数几率回归来建立一个模型。这个模型会尝试学习每个特征与违约概率之间的关系。模型的形式可能是这样的：

$ P(\text{违约} | \text{特征}) = \frac{1}{1 + e^{-(b + \omega \times \text{年龄} + \omega_2 \times \text{职业} + \ldots + \omega_n \times \text{负债比例})}}$

在这个模型中，$( P(\text{违约} | \text{特征}) $ 是给定申请者特征的情况下违约的概率，而 $(b,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)$ 是模型参数，它们代表了每个特征对违约概率的影响。

模型训练

使用银行的历史贷款数据（包括申请者的特征和违约结果），你可以训练对数几率回归模型。模型会尝试找到最佳的参数值，使得预测的违约概率与实际违约情况尽可能一致。用极大似然进行优化

应用模型

现在，当新的贷款申请到来时，你可以使用训练好的模型来评估每个申请者的违约概率。如果模型预测的违约概率超过了某个阈值（比如70%），银行可能会决定拒绝贷款申请，以降低风险。

2.3 线性判别分析——线性模型解决二分类问题（离散型）

2.3.1 基本原理

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的统计学方法，用于分类和降维。它的目标是找到一个线性组合的系数，使得不同类别之间的距离最大化，同时类内的数据尽可能紧凑

LDA通过最大化类间散布（类间方差）与类内散布（类内方差）的比值来寻找最佳的线性组合。这个比值被称为费舍尔准则（Fisher’s Criterion）。

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的统计学方法，用于分类和降维。它的目标是找到一个线性组合的系数，使得不同类别之间的距离最大化，同时类内的数据尽可能紧凑。LDA通常用于多分类问题，并且是一种监督学习算法。

LDA的优化主要 通过最大化类间散布（类间方差）与类内散布（类内方差）的比值来寻找最佳的线性组合。这个比值被称为费舍尔准则（Fisher’s Criterion）。

LDA的目标函数可以表示为：

$ J(W) = \frac{W^T(S_B - S_W)W}{W^T(S_W)W} $

其中：

• ( W ) 是线性判别函数的权重向量。
• ( S_B ) 是类间散布矩阵。
• ( S_W ) 是类内散布矩阵。

LDA通过求解这个目标函数来找到最佳的权重向量( W )。

2.3.2 使用示例–正负类判断

下面是一个简化的例子来说明LDA如何进行二分类：

假设我们有一个数据集，其中包含两个类别的样本，每个样本有两个特征（维度）。我们的目标是找到一个直线（在二维空间中）来区分这两个类别。

数据准备

假设我们有以下四个样本点，其中类别标签为1和-1：

(1, 2), 类别: 1
(2, 3), 类别: 1
(4, 5), 类别: -1
(5, 6), 类别: -1
1
2
3
4

模型决策

计算类内和类间散度矩阵： LDA需要计算每个类别的均值向量（类中心），以及类内散度矩阵（类内协方差）和类间散度矩阵（类间协方差）。

求解LDA方程： 使用类间散度矩阵和类内散度矩阵，我们可以构建一个LDA方程，然后求解这个方程以找到最佳的投影方向（即判别函数的权重）。

应用判别函数： 一旦我们得到了判别函数的权重，我们就可以将其应用于新的样本点，通过计算加权特征值来预测其类别。

分类决策： 对于新的样本点，我们将其特征值代入判别函数，然后根据函数值的正负来决定其类别。如果判别函数的值大于0，我们将其分类为正类（例如类别1），否则为负类（例如类别-1）。

2 线性模型拓展——二分类迁移到多分类

2.1 原理

二分类问题是指将样本划分为两个类别的问题，而多分类问题则是指将样本划分为多个类别的问题。在处理多分类问题时，我们通常会将二分类算法进行扩展，以处理多个类别。其中，OvO（One-Versus-One）、OvR（One-Versus-Rest）和MvM（Many-Versus-Many）是三种常见的策略。

1. OvO（One-Versus-One）：
   OvO策略的基本思想是为每对不同的类别训练一个二分类器。假设有N个类别，那么需要训练的二分类器数量为$C(N,2)=N\ast (N-1)/2$，其中C(N, 2)表示从N个类别中选取2个类别的组合数。对于一个新的样本，将其输入到所有二分类器中进行预测，得到N*(N-1)/2个预测结果。然后，根据这些预测结果，通过投票或者其他策略确定最终的类别。OvO策略的优点是训练简单，因为每个二分类器只涉及两个类别的样本。但是，当类别数量很多时，需要训练的二分类器数量会急剧增加，导致计算量大且存储成本高。
2. OvR（One-Versus-Rest）：
   OvR策略的基本思想是为每个类别训练一个二分类器，将该类别作为正类，其他所有类别作为负类。对于N个类别，需要训练N个二分类器。对于一个新的样本，将其输入到所有二分类器中进行预测，得到N个预测结果。然后，选择预测概率最高的类别作为最终的类别。OvR策略的优点是只需训练N个二分类器，相对于OvO策略来说计算量较小。但是，当类别之间存在不平衡时，负类样本数量过多可能导致分类器偏向于负类，从而影响分类性能。
3. MvM（Many-Versus-Many）：
   MvM策略是OvO和OvR的折中方案，旨在减少需要训练的二分类器数量。MvM策略的基本思想是将多个类别组合成一个新的类别，然后为这些新的类别训练二分类器。具体的组合方式可以根据实际情况进行选择，例如基于类别之间的相似性进行组合。MvM策略的优点是可以根据实际需求调整二分类器的数量，以平衡计算量和分类性能。然而，如何选择合适的组合方式以及如何确定组合的数量是MvM策略需要解决的关键问题。

总之，OvO、OvR和MvM是处理多分类问题的三种常见策略。每种策略都有其优缺点，具体选择哪种策略取决于实际需求和问题特点。

2.2 示例

当然，以下是对OvO、OvR和MvM策略的一些具体例子说明：

1. OvO（One-Versus-One）

假设我们有一个数据集，其中包含三个类别：猫、狗和鸟。在OvO策略下，我们需要为每一对不同的类别训练一个二分类器。因此，我们将训练以下三个二分类器：

• 猫 vs 狗
• 猫 vs 鸟
• 狗 vs 鸟

当我们有一个新的样本（例如，一只猫）时，我们会将其输入到这三个二分类器中进行预测。每个二分类器都会给出一个预测结果（例如，“是猫”或“不是猫”）。然后，我们通过投票来确定最终的类别。在这个例子中，由于有两个分类器预测样本是猫，而只有一个分类器预测样本不是猫，因此最终我们将样本分类为猫。

2. OvR（One-Versus-Rest）

继续使用上面的三个类别的例子，在OvR策略下，我们将为每个类别训练一个二分类器：

• 猫 vs 狗和鸟
• 狗 vs 猫和鸟
• 鸟 vs 狗和猫

当我们有一个新的样本时，例如一只猫，我们会将其输入到这三个二分类器中进行预测。每个二分类器都会给出一个预测结果，例如“是猫”或“不是猫”。我们选择预测概率最高的类别作为最终的类别。在这个例子中，如果“猫 vs 狗和鸟”的分类器给出了很高的预测概率，那么我们将样本分类为猫。

3. MvM（Many-Versus-Many）

在MvM策略下，我们可以根据实际需求将多个类别组合成一个新的类别。例如，我们可以将猫和狗组合成一个新的类别“陆地动物”，然后将鸟作为另一个类别。这样，我们就只需要训练一个二分类器：“陆地动物” vs 鸟。

当我们有一个新的样本时，例如一只猫，我们会将其输入到这个二分类器中进行预测。分类器会给出两个预测结果：“是陆地动物”或“是鸟”。根据这个预测结果，我们可以将样本分类为猫（因为它属于“陆地动物”类别）。

需要注意的是，MvM策略的具体实现方式可以有很多变种，取决于如何组合类别以及如何选择训练哪些二分类器。上面的例子只是一种简单的示意，实际应用中可能会有更复杂和灵活的组合方式。

3 线性模型可能遇到的问题

线性模型在处理分类任务时，可能会遇到类别不平衡问题。类别不平衡是指不同类别的训练样例数目相差很大，例如电力盗窃、银行的欺诈交易、罕见疾病识别等场景中，正常样本的数量往往远远大于异常样本的数量。这种情况下，传统的机器学习算法，包括线性模型，可能会偏向于数量多的类别，导致对数量少的类别的预测性能不佳。

具体来说，线性模型（如逻辑回归）在训练时，通常会通过最大化似然函数来求解参数。然而，当类别不平衡时，数量多的类别的样本会占据主导地位，使得模型在训练过程中更倾向于将这些样本分类正确，而忽略了对数量少的类别的分类性能。这就导致了模型的预测结果往往偏向于数量多的类别，对数量少的类别的识别能力下降，即所谓的“偏斜”现象。

为了解决类别不平衡问题，可以采取以下几种策略：

1. 重采样：通过对数量多的类别进行欠采样（undersampling）或对数量少的类别进行过采样（oversampling）来调整样本的分布，使得不同类别的样本数量接近平衡。需要注意的是，过采样可能会导致模型过拟合，因此需要对生成的额外样本进行适当的处理，如SMOTE算法通过插值生成额外的样本。
2. 调整权重：在训练过程中，给数量少的类别赋予更高的权重，使得模型在训练时更加关注这些类别。这样可以在一定程度上缓解类别不平衡问题。
3. 阈值移动：对于二分类任务，可以通过调整决策阈值来改变模型的预测结果。具体来说，可以将决策阈值向数量少的类别移动，使得模型更倾向于将这些样本分类为该类别。这种方法在类别不平衡问题较为严重时比较有效。

4 各个线性模型的比较

线性回归、对数几率回归（也称为逻辑回归）和线性判别分析（LDA）是统计学和机器学习中常用的三种预测模型，它们各自有不同的特点和应用场景。

1. 线性回归（Linear Regression）：
   线性回归是一种连续性预测模型。线性回归优化方式是——找到一组参数，使得预测值和实际值之间的残差平方和最小，即最小二乘法。

2. 对数几率回归（Logistic Regression）：
   对数几率回归是一种广义线性模型，是一种离散型分类模型。它通过逻辑函数（通常是Sigmoid函数）将线性回归的输出映射到0和1之间，这样就可以将其解释为概率。对数几率回归优化方式是——最大化观测样本的条件对数似然函数。它在处理分类问题，尤其是二分类问题时非常有用。

3. 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）：
   线性判别分析是一种分类方法，它旨在找到一个线性组合的系数，使得不同类别之间的距离最大化，同时类内的数据尽可能紧凑。LDA假设不同类别的数据具有相同的协方差矩阵，这在实际应用中可能不总是成立。

总结：

• 线性回归用于预测连续值，关注最小化误差。
• 对数几率回归用于分类问题，关注最大化似然函数。
• 线性判别分析用于分类问题，关注类别间距离最大化和类内紧凑性。

这三种方法在数学形式上有一定的相似性，但它们的目标和应用场景有明显区别。在实际应用中，选择哪种方法取决于数据的特性和问题的需求。

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