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煮酒与君饮
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Gini 系数与熵的关系_gini与熵
作者:煮酒与君饮 | 2024-06-27 21:29:32
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gini与熵
首先来看二者的基本定义:
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
H
(
X
)
=
−
∑
k
=
1
K
p
k
ln
p
k
Gini
(
X
)
=
∑
k
=
1
K
p
k
(
1
−
p
k
)
{
H
(
X
)
=
−
∑
k
=
1
K
p
k
ln
p
k
Gini
(
X
)
=
∑
k
=
1
K
p
k
(
1
−
p
k
)
将
f
(
x
)
=
−
ln
x
f
(
x
)
=
−
ln
x
在
x
=
1
x
=
1
处进行一阶泰勒展开(忽略高阶无穷小):
f
(
x
)
=
=
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
⋅
)
f
(
1
)
+
f
′
(
1
)
(
x
−
1
)
+
o
(
⋅
)
1
−
x
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
⋅
)
=
f
(
1
)
+
f
′
(
1
)
(
x
−
1
)
+
o
(
⋅
)
=
1
−
x
因此,熵可近似转化为:
H
(
X
)
=
−
∑
k
=
1
K
p
k
ln
p
k
=
∑
k
=
1
K
p
k
(
−
ln
p
k
)
≃
∑
k
=
1
K
p
k
(
1
−
p
k
)
=
Gini
(
X
)
H
(
X
)
=
−
∑
k
=
1
K
p
k
ln
p
k
=
∑
k
=
1
K
p
k
(
−
ln
p
k
)
≃
∑
k
=
1
K
p
k
(
1
−
p
k
)
=
Gini
(
X
)
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