算法设计与分析 (4. 贪心算法, 含正确性证明)_贪心算法正确性

贪心算法的基本思想

例

用￥100买书一本, 花去￥29.7, 如何找补零钱, 所用的总张数最少？
某国家的钱分20, 11, 5, 1 cents四种, 如果用20cents买5cents的东西, 需要如何找使得钱的张数最少？

分析

• 贪心算法并不从整体最优考虑, 它所做出的选择只是在某种意义下的局部最优选择.
• 贪心算法的优点：时间复杂度低.

4.1 活动安排问题

问题提出

公司不同职员申请使用某一会议室, 他们的活动起止时间如向量 $s$ 与 $f$ 所示. 例如, 第 1 个活动预计 1 点至 5 点, 第 2 个活动预计 2 点至 3 点. 如何安排, 使得该会议室可以容纳最大数量的活动?
$s=[0,1,2,3,3,5,5,6,8,8,12]$
$f=[6,4,13,5,8,7,9,10,11,12,14]$

解决方案

各活动的开始时间和结束时间存储于数组 $s$ 和 $f$ 中, 且按结束时间的非减序排列

选择第一个活动, 依次跳过后面与其冲突的活动, 再选择第一个与之不冲突的活动, 以此类推.

/**
 * Title:        活动安排问题.<br>
 * Version:      1.0<br>
 * Copyright:    Copyright (c) 2003, all rights reserved<br>
 * Author:       闵帆<br>
 * Company:      <a href=http://www.fansmale.com>www.fansmale.com</a><br>
 * Written time: 2003/09/02<br>
 * Last modify time: 2021/11/30<br>
 */
public class GreedySelector{
   /**
    入口方法.
    */
    public static void main(String args[]){
        int [] startTimes  = {-1, 1, 3, 0, 5, 3, 5, 6, 8, 8, 2, 12};
        int [] finishTimes = {-1, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14};

        boolean [] isSelected = new boolean[12];

        int successActivity = greedySelector(startTimes, finishTimes, isSelected);

        for (int i = 1; i <= 11; i++){
            if (isSelected[i]){
                System.out.print(startTimes[i] + "->" + finishTimes[i] + "\t");
            }//Of if
        }//Of for

        System.out.println("\n" + successActivity + " activities are successfully scheduled.");
    }//Of main

   /**
    *********************************
    * 获取最优解, 即最多活动数.
    * @param s 开始时间向量.
    * @param f 结束时间向量.
    * @param a 是否安排.
    *********************************
    */
    public static int greedySelector(int []s, int []f, boolean a[]){
        int n = s.length - 1;

        a[1] = true;
        int j = 1;
        int count = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i ++){
            if (s[i] >= f[j]){
                a[i] = true;
                j = i;
                count ++;
            }else{
                a[i] = false;
            }//Of if
        }//Of for

        return count;
    }//Of greedySelector
}//Of class GreedySelector
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结果显示

1->4	5->7	8->11	12->14	
4 activities are successfully scheduled.
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算法复杂度分析

• 排序花费时间
• 选择花费时间

算法正确性证明

条件：活动按结束时间非递减排序
证明:
(a) 令 $P$ 为活动全集, A = { a 1 , a 2 , … , a k } ⊆ P A = \{a_1, a_2, \dots, a_k\} \subseteq P A={a1​,a2​,…,ak​}⊆P 为一个最优活动集合, 其中 $f[a_1]<f[a_2]<\cdots <f[a_k]$. 由活动的相容性可知, $f[a_1]\le s[a_i]$, 其中 $2\le i\le k$. 将活动 $a_1$ 替换为活动 $1$ 可得 A ′ = { 1 , a 2 , … , a k } A' = \{1, a_2, \dots, a_k\} A′={1,a2​,…,ak​}. 由条件可知 $f[1]\le f[a_1]\le s[a_i]$, 其中 $2\le i\le k$. 即 $A^{\prime }$ 为一个相容活动集合. 由于 $|A^{\prime }|=|A|$, $A^{\prime }$ 也为一个最优活动集合. 因此, 活动 $1$ 至少包含在某个最优解之内.
(b) 将活动 $1$ 及与其冲突的活动从 $P$ 中删除, 获得活动子集 $P^{\prime }$, 并讨论其活动安排问题. 由于 $a_i$ 不与活动 $1$ 冲突, $a_i\in P^{\prime }$, 其中 $2\le i\le k$. 又由于 $a_2,\dots ,a_k$ 相互不冲突, 所以 { a 2 , … , a k } \{a_2, \dots, a_k\} {a2​,…,ak​} 为 $P^{\prime }$ 中可安排的活动集. 即 $P^{\prime }$ 中至少可以安排 $k-1$ 个活动. 另一方面 $P^{\prime }$ 中不可能安排多于 $k-1$ 个活动, 否则加上活动 $1$, $P$ 中可安排的活动数将超过 $k$, 这与 $A$ 是最优活动集合相矛盾. 因此, { a 2 , … , a k } \{a_2, \dots, a_k\} {a2​,…,ak​} 为 $P^{\prime }$ 的最优活动集合.
综上所述, (a) 证明了贪心选择性质, (b) 证明了最优子结构. 因此算法的正确性得证.

习题4-2

在活动安排问题中, 还可以有其他的贪心选择方案, 但并不能保证产生最优解. 给出一个例子, 说明若选择具有最短时段的相容活动作为贪心选择, 得不到最优解.

4.2 贪心算法的基本要素

• 4.2.1 贪心选择性质
  可以自顶向下, 而不需要自底向上的方式. 每步所做选择不依赖于将来所做的选择, 也不依赖于子问题的解.
• 4.2.2 最优子结构性质
  问题的最优解包含其子问题的最优解 (与动态规划相同)

自顶向下与自底向上

• 自顶向下
  直接把问题变成子问题. 分析问题与解决问题方向一致. 如找零钱问题、活动安排问题等.
• 自底向上
  把子问题堆为原问题. 分析问题与解决问题方向相反. 如矩阵连乘问题, 最长公共子序列问题等.

证明方法

• 贪心选择性质
  要证明第一步是正确的, 可以先假设已有最优解 $A$, 把 $A$ 的第一步换成贪心算法的第一步, 其结果$A^{\prime }$ 不比 $A$ 差.
• 最优子结构性质
  只需要证明经过第一步选择, 问题转换成了与原问题性质完全相同的子问题.
  类似于数学归纳法.

4.3 哈夫曼编码

字符出现的频率与其权值成正比，求使得平均码长最短的编码方案
例: 字符权重为: $45,12,13,5,9,16$, 构造哈夫曼树.

图 3. 哈夫曼树

完整Java 代码

时间复杂度分析

方案一 (所提供的代码使用本方案):

• 令字符数为 $n$, 共进行 $n-1$ 次合并.
• 每次需要在剩下的字符中选择两个权值最小的, 时间为 $O(n)$.
• 总时间为 $O(n^2)$.
  方案二:
• 将所有字符按权重排序, 时间 $O(n\log n)$.
• 每次选择两个权重最小的字符合并, 结果为一个新字符, 根据其权重插入原序列, 时间 $O(\log n)$.
• 总时间为 $O(n\log n)$.

算法正确性证明

哈夫曼树的构造过程中, 其贪心策略是使权重最小的字符对应的节点在树中层次最深. 记字符集为 $\Sigma$, 字符 $x\in \Sigma$ 的权重为 $w_x$, 且 ${\sum }_{x\in \Sigma }{w}_x=1$.
(a) 贪心选择性质. 不失一般性, 令权重最小的字符为 $a$. 现在需要证明存在最优二叉树, 使得 $a$ 对应的节点深度最大. 假设 $T$ 为一棵最优二叉树, 其中节点 $x$ 的层次记为 $T_x$. $T$ 的平均编码长度为
$$L(T)=\sum _{x\in \Sigma }{w}_x{T}_x\text{\hspace{1em}(1)}$$
令深度最大的某个节点为 $b$, 即 $T_b={\max }_{x\in \Sigma }{T}_x$. 现将 $a$ 与 $b$ 的位置互换, 获得新的二叉树 $T^{\prime }$. 则 $T^{\prime }$ 与 $T$ 的编码长度差别由 $a$, $b$ 两个字符确定.
$$L(T)-L(T^{\prime })=w_a{T}_a+w_b{T}_b-w_a{T}_b-w_b{T}_a=(w_a-w_b)(T_a-T_b)\text{\hspace{1em}(2)}$$
由于 $w_a\le w_b$, $T_a\le T_b$, $L(T)-L(T^{\prime })\ge 0$. $T^{\prime }$ 也一定是最优二叉树.
因此, 将权重最小的字符放到树中最深层次是一个正确的贪心选择方案.
(b) 最优子结构. 不失一般性, 令某棵最优二叉树 $T$ 中, 最深的一对节点对应的字符为 $a$ 和 $b$. 令 Σ ′ = Σ ∖ { a , b } ∪ { z } \Sigma' = \Sigma \setminus \{a, b\} \cup \{z\} Σ′=Σ∖{a,b}∪{z}, $w_z=w_a+w_b$, 将 $T$ 中对应于 $a$ 和 $b$ 节点删除之后的二叉树为 $T_1$, 其中 $a$ 所对应的原父节点对应于新字符 $z$. 需要证明 $T_1$ 为 ${\Sigma }^{\prime }$ 的最优二叉树.
假设 ${\Sigma }^{\prime }$ 的最优二叉树不是 $T_1$, 则$\exists$ ${\Sigma }^{\prime }$ 的另一棵二叉树 $T_2$, s.t. $L(T_2)<L(T_1)$. 将 $T_2$ 的叶节点 $z$ 扩展成 $a$ 与 $b$ 获得 $T_3$, 则 $T_3$ 为原字母表 $\Sigma$ 对应的一棵二叉树. 由于 $a$ 与 $b$ 的编码长度比 $z$ 的多 1, $$L(T_3)=L(T_2)+w_a+w_b<L(T_1)+w_a+w_b=L(T),$$ 这与 $T$ 为最优二叉树的假设矛盾.
综上所述, (a) 证明了贪心选择性质, (b) 证明了最优子结构. 因此算法的正确性得证.

4.4 单源最短路径

练习: 证明算法的正确性

4.5 最小生成树

4.5.1 Prim 算法

证明：令无向图为 $G=(\mathbf{V},\mathbf{E})$, 其中 V = { v 1 , v 2 , … , v n } \mathbf{V} = \{v_1, v_2, \dots, v_n\} V={v1​,v2​,…,vn​}, E = { e 1 , e 2 , … , e m } \mathbf{E} = \{e_1, e_2, \dots, e_m\} E={e1​,e2​,…,em​}. 其生成树为 $G^{\prime }=(\mathbf{V},{\mathbf{E}}^{\prime })$, 其中 E ′ = { e t 1 , e t 2 , … , e t n − 1 } \mathbf{E}' = \{e_{t_1}, e_{t_2}, \dots, e_{t_{n-1}}\} E′={et1​​,et2​​,…,etn−1​​}, 且 $G^{\prime }$ 为联通无环图.
(贪心选择性质)
不失一般性, 令起始节点为 $v_1$, 贪心选择策略是找到与$v_1$连接边最短的节点, 以及相应的边. 记该点为 $v_a$, 相应的边为 $e_b=(v_1,v_a)$. 现证明 $e_b$ 包括在某个最优解中.
令 $G^{\prime }$ 为一棵最小生成树, 其中不包括 $e_b$. 则将 $e_b$ 加入 $G^{\prime }$ 中, 将形成一个环. 不考虑该环之外的节点, 每个节点的度刚好为 2. 令该环中与 $v_1$ 相关的另一条边为 $e_c$, 则删除 $e_c$ 后, 获得另一棵生成树 $G^{\prime \prime }$. 由于 $w(e_b)\le w(e_c)$, $G^{\prime \prime }$ 也一定为一棵最小生成树.
(最优子结构性质)

4.6 小结

算法正确性证明有一定的套路, 但写清楚并不容易.