动态规划算法--0/1背包问题求解（Java）_获取数据算法0(1)

动态规划算法–0/1背包问题求解（Java）

学习视频：尚硅谷韩老师Java讲解数据结构与算法

一、动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：
   将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解 的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这 些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子 阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

二、动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

2.1、题目要求

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

2.2、思路分析和图解

1. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价 值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
2. 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
3. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 val[i]来确定是否需要将该物品 放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 val[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是0 
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] //当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 
//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量
//装入的方式: 
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值 
val[i] : 表示当前商品的价值。v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品后剩余空间 j-w[i]的所能装入物品价值最大值 
当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
1
2
3
4
5
6
7
8

2.3、图解的分析

2.4、代码实现：

package com.lxf.dp;

public class knapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w={1,4,3};//物品的重量
        int[] val={1500,3000,2000};//物品的价值
        int m=4;//背包的容量
        int n=val.length;//物品的个数

        //1.创建二维数组
        //v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v=new int[n+1][m+1];
        //存放记录数组
        int[][] path=new int[n+1][m+1];

        //2.初始化第一行第一列（已经处理了，因为默认是0）
        //3.根据公式来动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                //公式
                if(w[i-1]>j){//因为我们程序i是从1开始的，因此原来的公式中的w[i]修改成w[i-1]
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                }else{
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    if(v[i-1][j]<val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
                        v[i][j]=val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
                        path[i][j]=1;
                    }else{
                        v[i][j]=v[i-1][j];
                    }
                }
            }
        }

        //打印结果：
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }


        //最后一次存放进背包的组合：
        int i=path.length-1;//行的最大下标
        int j=path[0].length-1;//列的最大下标

        while (i>0&&j>0){
            if(path[i][j]==1){
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);
                j-=w[i-1];
            }
            i--;
        }
    }
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57