2024年CSP-J暑假冲刺训练营(3)：递归

一、递归

1. 意义

递归算法： 一种函数不断调用自身来解决更小规模问题的算法，直到达到基本情况或结束条件。递归可以将复杂的问题分解成更小的子问题，从而简化解决方案。

2. 要素

• 边界： 没有了边界就会一直进行死循环。
• 向边界靠近： 不靠近边界也会一直进行死循环。

二、典型例题

1. 全排列

#include <iostream>
using namespace std;

int n;
int a[10];
bool used[10];

void dfs(int step) {
    if (step > n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cout << a[i] << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (used[i] == 0) {
            a[step] = i;
            used[i] = 1;
            dfs(step+1);
            used[i] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    dfs(1);
    return 0;
}
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2. 数字组合

#include <iostream>
using namespace std;

int n, m;
int a[15];
bool used[15];

void dfs(int step, int last) {
    if (step > m) {
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            cout << a[i] << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = last+1; i <= n; i++) {
        if (used[i] == 0) {
            a[step] = i;
            used[i] = 1;
            dfs(step+1, i);
            used[i] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    dfs(1, 0);
    return 0;
}
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三、例题

1. 素数环

#include <iostream>
using namespace std;

int n, cnt;
int a[20];
bool vis[20];

bool isPrime(int x) {
    if (x <= 1) return 0;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0)
            return 0;
    return 1;
}

void dfs(int step) {
    if (step > n  && isPrime(a[1]+a[n])) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cnt++;
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (vis[i] == 0 && (step == 1 || isPrime(i+a[step-1]))) {
            a[step] = i;
            vis[i] = 1;
            dfs(step+1);
            vis[i] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    dfs(1);
    cout << cnt;
    return 0;
}
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2. 素数环变形

从电脑输入 $n$ 个正整数，求这个 $n$ 个乱序的正整数，能组成多少个素数环的形式，输入的所有数在每组素数环情况中都要用到。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int cnt, n, p[20], a[20];
bool vis[20];

bool isPrime(int x) {
    if (x <= 1) return false;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

void dfs(int step) {
    if (step == n+1) {
        if (!isPrime(a[1]+a[n])) return;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cnt++;
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            if (step==1 || isPrime(a[step-1]+p[i])) {
                a[step] = p[i];
                vis[i] = true;
                dfs(step+1);
                vis[i] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> p[i];
    sort(p+1,p+n+1);
    dfs(1);
    cout << cnt;
    return 0;
}
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