守恒定律、连续性方程和玻印亭矢量_面积守恒定律

守恒的东西总是人们乐于接受的，总是觉得冥冥之中有种神秘力量维持着这份永恒。

钻石恒久远，一颗永流传—–鲁迅没说。

确实，虽然这个世界瞬息万变，沧海桑田，中国更是日新月异，但总有些东西是守恒的，目前人们发现的有质量守恒、电荷守恒、能量守恒、动量守恒等，还有别的在某些条件下才成立的守恒。

在经典力学里，动量守恒是牛三定律的直接推论（见下面）。

在一个封闭系统里（没有外力，与外界没有物质或能量交换），假设存在两个相互作用的粒子，根据牛三定律

$$\boldsymbol{F}_1=\frac{d\boldsymbol{p}_1}{dt}$$

$$\boldsymbol{F}_2=\frac{d\boldsymbol{p}_2}{dt}$$

$$\frac{d\boldsymbol{p}_1}{dt}=-\frac{d\boldsymbol{p}_2}{dt}$$
对上式做一个简单的处理，得到

$$\frac{d}{dt}(\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2)=0$$
即

$$\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2=const.$$

动量守恒是空间各向同性（或叫空间平移不变性）的直接数学结果，也就是说物理定律不因所在位置的不同而存在差异。比如，牛顿定律在月球上也一样适用。

在哈密顿力学里，动量是位置的正则共轭量，两者在哈密顿流所构成的相空间里构成了一定的面积。

在线性变换下，面积守恒，且形状不会畸变；如果存在非线性力，则面积虽守恒但形状畸变，即所谓的混沌出现；如果出现耗散力，则面积不再守恒。

因为只要在相空间里存在粒子，则必定存在面积，此时一个位置会对应一个动量分布，同理，一个动量会对应一个位置分布，也就是说这两者没法同时确定，这也就是海森堡不确定性原理的一个体现。（其实，相空间里的一个位置动量共轭对，对应了一个粒子所处的状态）。但测量的时候就不再是这样了。

能量守恒也是一种对称性的体现，那就是时间。也就是说，物理定律不会随着时间的推移而存在差异，牛顿时期的三大定律到现在仍然成立（有人会说，现在老牛的东西过时了，有了相对论，但是，牛顿那个时代难道没有相对论吗？相对论一直都在，只是爱因斯坦在前不久才发现了它而已）。

其实，由诺特（一个热爱数学却备受冷眼的女数学家）定理可以直接推导出能量守恒。

该定理说任何连续一个对称性必定包含一个守恒量。除了时间平移不变和空间平移不变，还有个空间旋转不变，这直接导致了角动量守恒。开普勒面积守恒定律和行星在平面上的向心运动都是角动量守恒的体现。

与动量一样，哈密顿力学里能量和时间是一对正则共轭量。所以能量和时间没法同时测准，测不准原理的再次体现！

哈密顿力学看似是直接把拉格朗日力学做了个勒让德变换，即把广义速度变成了广义动量。

貌似只是数学上的一点改动，其实这一转换直接导致了对称性和守恒量在光天化日之下的关联，而目光敏锐的诺特找到了这种关联，并得出了诺特定理。

能量守恒说能量既不会创造也不会消失，只能从一点转移到另一点。

但这种说法有个明显的缺点，能量能从一个地方突然消失然后在另一个地方突然出现吗？显然是不可能的，超距作用已经被证伪。

一个地方的能量随着时间增加，只能是另一个地方的能量以能流密度的方式从该地方翻越崇山峻岭不间断的流到了这个地方。

就好比水流一样，不可能凭空突然出现一个泉水而另一个地方突然消失了一个泉水。只能是通过水管或地下水在泉水之间流通。

同理，电荷在某个地方堆积，必定是电流在那有流进或流出。

可见，连续性方程使得守恒定律更加严密化。

以流体为例，在