文献翻译--一种高效的原始对偶混合梯度全变差图像恢复算法 TV去模糊模型_原始对偶混合梯度算法

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An Efficient Primal-Dual Hybrid Gradient Algorithm For Total Variation Image Restoration

Mingqiang Zhu Tony Chan

Abstract

We propose a simple yet efficient algorithm for total variation (TV) minimizations with applications in the image processing realm. This descent-type algorithm alternates between the primal and dual for mulations and exploit the information from both the primal and dual
variables. It converges significantly faster than some popular existing methods as demonstrated in our experiments. This approach is to some extent related to projection type methods for solving varia tional inequalities. It can be applied to solve other TV model and L1 minimization problem.

一种高效的原始对偶混合梯度全变差图像恢复算法

我们提出了一种简单而有效的算法，用于在图像处理领域中应用的总变差 (TV) 最小化。这种下降型算法在原始变量和对偶变量之间交替，并利用来自原始变量和对偶变量的信息。如我们的实验所示，它的收敛速度明显快于一些流行的现有方法。这种方法在某种程度上与解决变分不等式的投影类型方法有关。它可以应用于解决其他电视模型和 L1 最小化问题。

2.4.2 TV去模糊模型

通过解决以下问题，可以将基于全变分的图像恢复模型(2)扩展到恢复模糊和噪声图像f：

其中K是给定的线性模糊算子，并且每隔一项的定义与(2)中相同。在该模型中，f被表示为高斯噪声v和由作用于原始图像u的线性模糊算子K产生的模糊图像$Ku$的和，即$f=Ku+v$。

在所有的线性模糊算子中，许多是平移不变的，可以用卷积的形式来表示：

其中h是与K相关的给定点扩展函数(PSF)。

模型(38)的离散形式是

其中B是模糊算子K的离散化。

(40)的原始-对偶和对偶公式可以以与第(1.4)节相同的方式获得，如下所示

然而，模糊矩阵B是高度不适定的(在某些情况下是不可逆的)，使得计算逆B−1即使不是不可能的话也是困难的。因此，双重公式(42)在实践中用处不大，有时可能根本不存在。另一方面，我们基于公式(41)的原始-对偶混合梯度下降算法仍然运行良好。该算法的核心部分如下

注意，这里的原始更新步骤(43b)是半隐式的。这里的动机是，由于B是不适定的，显式梯度下降将具有缓慢的渐近收敛。由于B是卷积运算符K的矩阵表示，所以矩阵与B相乘的傅里叶变换在频域中变为逐点相乘。因此，可以通过FFT和逆FFT有效地求解步骤(43b)：

其中$F(\cdot )$和$F^{-1}(\cdot )$是快速傅立叶变换和逆快速傅立叶变换算子，∗表示复共轭，⊙表示逐点乘算子。

全混合梯度下降法(PDHG-D)定义如下：

程序

TV模型的双重表述 $\min \Vert ▽w-\lambda f{\Vert }_2^2$ $s.t.$ $|w|<=1