动态规划之背包问题——完全背包

算法相关数据结构总结：

前面整理了01背包，在leetcode题库中主要就是01背包和完全背包问题，所以在这里整理一下完全背包的知识点。

一、完全背包问题

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

注：leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题。

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以针对遍历顺序进行分析。其它动规五部曲参考01背包。

二、完全背包遍历顺序

首先回顾一下01背包的遍历顺序：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {
    // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
    // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
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我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 0; i < weight.length; i++){
   
    for (int j = 1; j <= bagWeight; j++){
   
        if (j - weight[i] >= 0){
   
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
}
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为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

在01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓。

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以。完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值。

先遍历被背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
    // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {
    // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

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注：全文说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。这些将根据具体的题目进行分析。