拓扑排序（AOV网）、关键路径（AOE网）_图的应用:拓扑排序(aov)、关键路径(aoe)

一. 拓扑排序 - AOV网

1. 一些概念

• DAG（directed acycline graph）：有向无环图。
• 检查一个有向图是否存在环：从有向图上某个顶点v出发遍历，DFS(v)结束之前，出现一条从顶点u到v的回边，u在生成树上是v的子孙，则有向图中必定存在包含顶点v和u的环。
• AOV网（Activity On Vertex Network）：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系。这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为AOV网。
• AOV网中不应该出现环，因为这意味着某项活动是以自己为先决条件的。所以对给定的AOV网，应该先判断是否有环。判断方式可以用拓扑排序。

 

2. 拓扑排序（Topological Sorting）

• 拓扑排序是一个DAG的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
  ①每个顶点出现且只出现一次。
  ②若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
• 具体实现方式：
  ①从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。
  ②从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
  ③重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空，并且当前图中不存在无前驱的顶点为止。如果出现图不为空，但不存在无前驱的顶点的情况说明有向图中必然存在环。

 

3. 应用场景

• 在现代化管理中，人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一个工程常被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动（Activity)，在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV网。在工程实施过程中，有些活动开始是以它的所有前序活动的结束为先决条件的，必须在其他有关活动完成之后才能开始，有些活动没有先决条件，可以安排在任何时间开始。AOV网就是一种可以形象地反映出整个工程中各个活动之间的先后关系的有向图。
• 拓扑排序用于判断AOV网是否正确：构造拓扑有序序列，如果网中所有顶点出现在序列中，说明正常；否则说明AOV网存在环。

 

二. 关键路径 - AOE网

1. 一些概念

• AOE网（activity on edge network）：和AOV网相对，即边表示活动的网。是一个带权、有向、无环图。其中顶点表示事件（evnet），边表示活动，权表示活动持续的时间。通常用来估算工程的完成时间。
• 关键路径（critical path）：从开始点到完成点的最长路径长度，叫做关键路径。如果看成一个工程，这条关键路径的长度，也是整个工程能完成的最短时间。
• 关键活动：某一条弧，弧上的权值增加，响应的最长路径长度也会增加。这条弧叫关键活动。
• 最短路径只是某一点到另一点走的最快最短的路径。而关键路径以点为事件，线为过程，需要将所有工程完成时的路径，所以选最长路径为关键路径才能确保所有工程都完成。

 

• 顶点（事件）的最早发生时间ve(j)：从原点到顶点j的最长路径长度。
• 顶点（事件）的最迟发生时间vl(k)：从顶点k到汇点的最短路径长度。（就是从完成时间点往后推）（含义是：某个顶点，最晚什么时候发生，不会拖延到整个工程）

    

2. 举个栗子：

由上图可求，顶点（事件）的 最早发生时间ve 和 最迟发生时间vl

由ve和vl的表，又可以得到下表 边（活动）最早发生时间ee 和 边（活动）最迟发生时间el

而表中ee和el相同的弧，就是关键活动。关键活动加起来就是关键路径。