LoRa 物理层调制

  LoRa 基于 Chirp Spectrum Spreading（CSS）技术对 Symbol 进行调制，其中 Chirp 是 LoRa 物理层的重要概念。

  考虑我们有一段可用的带宽 BW, 以及设定的 Symbol Duration $T$ ，即一个 Symbol 的传输时间。Chirp 可以看做一个在此带宽上的扫频，如下图所示。

  其中红色直线表示 Chirp 信号瞬时频率与实践的关系，其值域是 $[-\frac{BW}{\omega }，\frac{BW}{\omega }]$ ，定义域在（ $0，T$ ）上。绿色曲线则反映了其在时域上的部分表示，可以看到频率绝对值高的地方，两个波峰距离更短，这是从直观上对 Chirp 的理解。

我们可以写出 Chirp 信号瞬时频率与时间 $t$ 的关系，即
$$f_{chirp}(t)=-\frac{BW}{2}+\frac{BW}{T}t$$
实际上，对于一个复函数 $y(t)=e^{j\varphi (t)}$ 为虚数单位，即 -1 的平方根，其瞬时频率的表达式为
$$f_y(t)=\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{2\pi }$$
因此了得到 Chirp 信号在时域上的表达式，我们可以求出 $\varphi (t)$，即
ϕ ( t ) = ∫ f c h i r p ( t ) d t = 2 π t ( − B W 2 + B W 2 T t )

$$\begin{aligned} \phi(t) & = \int f_{chirp}(t) dt \\ & = 2\pi t (-\frac{BW}{2} + \frac{BW}{2T} t) \end{aligned}$$ ϕ(t)​=∫fchirp​(t)dt=2πt(−2BW​+2TBW​t)​
于是我们就得到了 Chirp 在时域上复信号
$$y_{upchirp}(t)=e^{j2\pi t(-\frac{BW}{2}+\frac{BW}{2T}t)}$$
我们称上述 Chirp 信号为一个标准 upchirp，类似的我们可以构造标准 downchirp，写作
$$y_{downchirp}(t)=e^{j2\pi t(\frac{BW}{2}-\frac{BW}{2T}t)}$$
如果我们将标准 upchirp 与标准 downchirp 做乘法，即
$$\begin{array}{rl}s(t)& =y_{upchirp}(t)y_{downchirp}(t)\\ & =e^{j2\pi t(-\frac{BW}{2}+\frac{BW}{2T}t)}{e}^{j2\pi t(\frac{BW}{2}-\frac{BW}{2T}t)}\\ & =e^0\\ & =1\end{array}$$
有时我们将 upchirp 写作
$$C=e^{j2\pi t(-\frac{BW}{2}+\frac{BW}{2T}t)}$$
而 downchirp 写作

$$C^{-1}=e^{j2\pi t(\frac{BW}{2}-\frac{BW}{2T}t)}$$
这符合大多数公理系统的逆运算，即满足 $C{C}^{-1}=1$。

  LoRa 基于 upchirp 来进行 Symbol 调制，其方法是对一个标准 upchirp 进行循环移动，例如下图所示，右侧是一个标准 upchirp，左侧相当于是将标准 upchirp 从某处切开，并将切开的两部分交换得到的。

  通过这个“切口”的位置，我们可以调制不同的 Symbol。例如我们要调制一个 Symbol $n$， 满足 $n$ 为整数且 $n\in [0，255]$，则得到的 Chirp 表达式为
y n ( t ) = e j 2 π t ( − B W 2 + B W 2 T t + n T ) = e j 2 π n T t C

$$\begin{aligned} y_n(t) & = e^{j2\pi t (-\frac{BW}{2} + \frac{BW}{2T} t + \frac{n}{T})} \\ & = e^{j2\pi\frac{n}{T}t}C \end{aligned}$$ yn​(t)​=ej2πt(−2BW​+2TBW​t+Tn​)=ej2πTn​tC​
该信号由发送端调制并基于某个载波发送，接收端接收到这一信号，进行 dechirp，如下：
$$\begin{array}{rl}{s}_n(t)& =y_n(t)C^{-1}\\ & =e^{j2\pi \frac{n}{T}t}\end{array}$$
不难发现，dechirp 后的信号仅包含一个恒定的频率，对于这个频率，傅里叶变换（FFT）可以帮助我们找到它。考虑采样率刚好为 $BW$, 则一个Symbol 将包含 $N$个采样点，经过傅里叶变换得到 $N$个 FFT bins，满足

F ( k ) = F ( s n ( t ) ) = { 2 S F , k = n 0 , o t h e r w i s e F(k) = \mathbf{F}(s_n(t))=

$$\begin{cases}2^{SF}, k = n \\ 0, otherwise \end{cases}$$ F(k)=F(sn​(t))={2SF,k=n0,otherwise​
也就是说，傅里叶变换将会在第 $n$ 个 bin 上得到峰值，其余为 0，且 $n$ 恰好就是调制的Symbol。