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海洋科学—物理海洋学第四章物理海洋学基础方程与公式_海浪的雷诺数

作者：代码探险家 | 2024-08-09 06:29:37

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海浪的雷诺数

按照冯士筰老师的《海洋科学导论》本章是海洋化学，由于本人完全不会化学，本章用来解释物理海洋学基本公式与方程，主要是N-S和基本方程组，主要来源是董昌明老师的《物理海洋学导论》，其次是其他的补充

总论：物理海洋学核心内容和一些既定标准

海水水体以及海洋中的各种组成物质，构成了对人类生存和发展有着重要意义的海洋环境。海水运动是海洋环境的核心内容。

1、海水的运动形式（海浪、潮汐和海流）

（1）海浪

海浪是发生在海洋中的一种波动现象，有风浪和涌浪之分。风浪指的是在风的直接作用下产生的水面波动。涌浪指的是风停后或风速风向突变区域内存在下来的波浪和传出风区的波浪。与此相关的还有近岸浪，指的是由外海的风浪或涌浪传到海岸附近，受地形作用而改变波动性质的海浪。“无风不起浪”和“无风三尺浪”的说法都没有错，事实上海面有风无风都会出现波浪。无风的海面也会出现涌浪和近岸波，这大概就是人们所说的“无风三尺浪”的证据，但实际上它们是由别处的风引起的海浪传播来的。广义上的海浪，还包括天体引力、海底地震、火山爆发、塌陷滑坡、大气压力变化和海水密度分布不均等外力和内力作用下形成的海啸、风暴潮和海洋内波等。它们都会引起海水的巨大波动，这是真正意义上的海上无风也起浪。

海浪是海面起伏形状的传播，是水质点离开平衡位置，作周期性振动，并向一定方向传播而形成的一种波动，水质点的振动能形成动能，海浪起伏能产生势能，这两种能的累计数量是惊人的。在全球海洋中，仅风浪和涌浪的总能量就相当于到达地球外侧太阳能量的一半。海浪的能量沿着海浪传播的方向滚滚向前。因而，海浪实际上又是能量的波形传播。海浪波动周期从零点几秒到数小时以上，波高从几毫米到几十米，波长从几毫米到数千千米。

（2）潮汐

潮汐是由于日、月引潮力的作用，使地球的岩石圈、水圈和大气圈中分别产生的周期性的运动和变化的总称。固体地球在日、月引潮力作用下引起的弹性-塑性形变，称固体潮汐，简称固体潮或地潮；海水在日、月引潮力作用下引起的海面周期性的升降、涨落与进退，称海洋潮汐，简称海潮；大气各要素(如气压场、大气风场、地球磁场等)受引潮力的作用而产生的周期性变化称大气潮汐，简称气潮。其中由太阳引起的大气潮汐称太阳潮，由月球引起的称太阴潮。因月球距地球比太阳近，月球引潮力比太阳大。对海洋而言，太阴潮比太阳潮显著。

地潮、海潮和气潮的原动力都是日、月对地球各处引力不同而引起的，三者之间互有影响。大洋底部地壳的弹性-塑性潮汐形变，会引起相应的海潮，即对海潮来说，存在着地潮效应的影响；而海潮引起的海水质量的迁移，改变着地壳所承受的负载，使地壳发生可复的变曲。气潮在海潮之上，它作用于海面上引起其附加的振动，使海潮的变化更趋复杂。作为完整的潮汐科学，其研究对象应将地潮、海潮和气潮作为一个统一的整体，但由于海潮现象十分明显，且与人们的生活、经济活动、交通运输等关系密切，因而习惯上将潮汐一词狭义理解为海洋潮汐。

（3）海流

海流是海洋中除了由引潮力引起的潮汐运动外，海水沿一定途径的大规模流动。引起海流运动的因素可以是风，也可以是热盐效应造成的海水密度分布的不均匀性。前者表现为作用于海面的风应力，后者表现为海水中的水平压强梯度力。加上地转偏向力的作用，便造成海水既有水平流动，又有铅直流动。由于海岸和海底的阻挡和摩擦作用，海流在近海岸和接近海底处的表现与在开阔海洋上相比有很大的差别。

海流对海洋中多种物理过程、化学过程、生物过程和地质过程，以及海洋上空的气候和天气的形成及变化，都有影响和制约的作用，故了解和掌握海流的规律、大尺度海-气相互作用和长时期的气候变化，对渔业、航运、排污和军事等都有重要意义。

海水是流体，其运动必须服从流体运动的基本规律。与刚体一样，流体也必须满足牛顿第二定律，由此可以建立流体的运动方程。海洋中的流体运动总是与湍流结合在一起。在计算海水运动时，我们还要考虑由质量不灭、动量守恒、角动量守恒和能量守恒定律和由此建立起来的相应方程。

由质量守恒可以导出连续方程；由盐量守恒可以导出盐扩散方程；由能量守恒可以导出热平衡方程；由机械能守恒可以导出波动方程；由动量守恒可以导出欧拉方程、奈维一斯托克斯方程和雷诺方程；由角动量方程守恒可以导出涡动守恒方程。这些方程将用于研究海水的运动。

2、海洋动力过程中的主要作用力

物理海洋学中起重要作用的力并不多，主要有以下几种。

(1)重力

重力是主要作用力。重力产生压力，海洋中各处的重力是不同的，所以压力也是不同的，从而在同一水平面上产生了横向的压强梯度力。太阳、月亮相对于地球位置的周期性运动，就产生了潮汐、潮流和海洋内部的潮混合。

(2)浮力

如果微团与周围流体的密度有差异，流体团就受到向上或向下的力。例如，冷空气吹过海水表面时，冷却了海水，使之密度增加，导致下沉。

(3)风作用力

吹过海表的风把水平动量传给海洋。风把海水按一定方向拖曳，引起的扰动搅动了上层海水，混合层和波浪由此产生。

(4)惯性力

流体微团做曲线运动或在旋转系统中运动时就会产生惯性力。因此，在描述旋转系统中的惯性运动时，必须加上惯性力。根据牛顿第一定律，除非给物体施加一个力，否则它就不会运动。因此，一个做均速直线运动的物体，在旋转坐标系中看来是在做曲线运动，实际上此时已有一个惯性力在起作用。这个力称为科氏(地转偏向力)力。用固定在地球上的坐标系研究流体运动，科氏力是主要作用力之一；但并不是任何时候都要考虑它。

总之，在研究海水运动时，主要作用力为重力、风应力、浮力和惯性力。其他力，如大气压力、由地震影响所引起的力，作用相对较小。

3、坐标系

坐标系用于度量物体的运动，从而建立相应的运动。实际上，任何物体运动并不是以坐标的建立而存在，运动与坐标系无关。反过来，我们可以用不同的坐标系来描述同一运动。但各种坐标都有其独特的长处，因此如何合理取舍坐标系是研究海洋学的重要问题。

（1）笛卡儿坐标系

笛卡儿坐标系是人们最熟悉的坐标系，我们将在以下章节中大量使用，因为它有描述简洁的特点。我们可以用该坐标系描述大多数运动，而无需使用球坐标系那样复杂的方程。在地球物理流体力学中，我们把x 轴指向正东，y 轴指向正北，z 轴指向天顶。

（2）f-平面坐标系

f-平面坐标系实际上也是笛卡儿坐标系，只不过认为在该坐标系中科氏力被假定为常量。对于尺度大于几十千米，而又大大小于地球半径的流体运动来说是十分有用的。

（3）β-平面坐标系

β-平面坐标系也是笛卡儿坐标系，在该坐标系中假定科氏力是纬度的线性函数，用于海盆尺度的运动描述。

（4）球坐标系

球坐标系用于大尺度运动的描述，常用于洋盆和全球尺度环流的数值计算。

（5）柱坐标系

柱坐标系使用较少，因数柱面运动本身就很少。

4、海水运动形式

海洋中有不同形式不同尺度的海洋流动，包括环流和波动，相应的名称很多。以下是一些常见的海洋流动形式的专门术语。

（1）总环流

总环流指的是永久性的时均环流，是全球海洋环流的总体，一般尤指较大范围内海水运动的整体状态。

（2）子午向翻转式环流

子午向翻转式环流为又称热盐环流，其运动机制是海水的混合。但旺许(Wunsch, 2002)不赞成使用热盐环流这个名词，因为热盐环流从未定义过。

（3）风生环流

顾名思义，风生环流是风应力驱动所生产的海水流动。它发生于海洋上层1 km 厚度内。这种流动发生于风区，并可影响到无风区。

（4）涡旋

涡旋(Gyre) 是风生的洋盆尺度的气旋式或反气旋式流动。英文描写涡旋的单词较多，不同尺度涡旋有不同的描述，而中文则无。

（5）边界流

边界流指平行于海岸的流动。两种边界流十分重要，即西边界流和东边界流。其中，西边界流流速较快，横向尺度较小，如东海的黑潮和美国东岸的湾流；东边界流流速较小，如加利福尼亚寒流。

（6）急流

急流是流程相对较长而横向较窄的流动，流程一般为几百千米，流向基本与海岸垂直。

（7）中尺度涡

中尺度涡是湍流形式或波动形式的流动，是叠加在海洋平均流场上的、尺度从几十千米至几百千米的水平涡旋。按其起源或生存方式可区分为流环、流环式中尺度涡和中大洋中尺度涡3类。

Ⅰ流环

起源于大洋西边界的西向强化流。在大西洋的湾流和在太平洋的黑潮中，经常会出现海流弯曲现象。当海流弯曲到很大程度时，冷涡和暖涡便脱离母体，形成了直径 100～300 km的流环。距流环中心30～40 km处，有流线近似于圆形的快速水流绕轴线运动。其表层旋转的线速率可高达90～150 cm/s, 此速率随深度而降低，但在深400～500 m 处仍然大于50cm/s 。通常，涡将随海水大约以5 km/d 的速度向西南方向移行，最后被母体海流反射或吸收。涡与环绕它的流系在一起，通常可向下延伸到2 km 深处，有时可达 5 km,因而不出现在大陆架海区上。这类涡的特点是有明显的水团特性可供识别，且可大体上测定其生存周期。

Ⅱ流环式中尺度涡

流环式中尺度涡生存于北大西洋的冷水区中，其强度大约只有流环的一半，宽度则比流环约大1倍。形成的地带可能在北大西洋东部40°—60°W 和34°N 的海域。这种涡所包围的冷水是一种冷涡。它们可能从海面向下延伸到海底，涡轴可出现倾斜。曾经发现这类涡在深度为2000 m 的水层上部和下部的旋转方向有时相反。

Ⅲ中大洋中尺度涡

中大洋中尺度涡起源于大洋西边界西向强化流无关的中尺度涡。它在世界海洋中几乎无处不有，外侧流体微团具有5~50 cm/s 的旋转速率，向下可延伸到整个水柱。自20世纪70年代以来已引起物理海洋学家的重视。这种中尺度涡在主跃层中有时可向上跳动几百米，存在的周期从几周到几个月，对大洋中的海流有重要的影响 (图5.1)。

除上述流动外，还有许多振荡式流动，它们是由波动所引起的。一般情况下，当我们谈到波动时，想到的是波动在海滩的破碎和表面波对船舶的摇动。实际上，海洋中还存在其他多种波动。

（8）行星波

行星波是一种低频长波，以地球的自转作为恢复力，有罗斯贝波、开尔文波和赤道波等。地球自转角速度的铅直分量随纬度的改变或海底的倾斜，都是形成罗斯贝波的条件。

大洋平均深度一般只有4 km, 而罗斯贝波的水平尺度，至少具有数百千米的量级，故属长波。由海底坡度形成的罗斯贝波，又称底形罗斯贝波，其波长的量级约为数百千米。这种波往往出现在陆架或大陆斜坡附近的海区。若不考虑海水的黏性和层结效应，则罗斯贝波的水平流速和深度无关，这时任一铅直水柱在运动过程中都恒保持铅直，且其位势涡度守恒。

开尔文波是发生在大气或海洋中的，迎向地形边界(例如海岸线)平衡科氏力的波动现象。开尔文波的一个特征是非弥散性，也就是说，波峰的相速度与波能的群速度在所有频率时均相等。这一特性意味着它在沿岸方向始终保持它的形状。

赤道波将在以后的章节中详细介绍。

（9）表面波

表面波又称重力波，这种波最后在海滩破碎。其恢复力是空气和海水之间的大密度差。

（10）内波

内波发生在海洋内部，在一些方面与表面波相似。其恢复力是海洋内部层结间的密度差。

（11）海啸

海啸是一种具有强大破坏力的海浪。当地震发生于海底，因震波的动力而引起海水剧烈的起伏，形成强大的波浪，向前推进，将沿海地带淹没的灾害，表面波动周期约为15 min。

（12）潮流和潮汐

海面每天都发生周期性的涨落现象，这种海面的升降现象被称为潮汐。自低潮到高潮的过程海面逐渐升高，叫涨潮，海面涨到最高的时候叫高潮；自高潮到低潮的过程海面逐渐降低，叫落潮，海面落到最低的时候叫低潮；每当海面涨至最高或落至最低时，有一短暂时间海面停止升降，此时叫平潮。

潮流和潮汐是一对孪生兄弟，海水周期性的水平运动产生潮流，潮汐潮流两者周期相同，有半日型、全日型和混合型之分。潮流受地形影响十分明显，流速流向都在变化。在狭窄的海峡、港湾、河口，由于受地形的限制潮流主要在两个方向变化，每隔几个小时改变一次方向，呈现出周期性的来往流动，这种潮流叫“往复流”。

（13）陆架波

陆架波是岸边浅水波动，周期只有几分钟，振幅随与海岸的垂直距离的增加而呈指数下降。

此外，还有海浪形式的运动，其介绍如前所述。

一、纳维—斯托克斯方程的建立

1、连续介质假设

我们知道，实际流体由大量流体分子组成，分子之间存在着比自身尺度大得多的间隙，并且流体分子不停地做无规则运动，因此流体的微观结构和运动无论在时间上还是空间上都充满着随机性。在物理海洋学中，通常我们研究的海水运动是指海水的宏观运动，这并不需要涉及海水分子的运动及分子的微观结构。也就是说，研究海水的运动时，可以不考虑海水离散分子的结构状态，而是把海水当作连续介质来处理。连续介质假设是把由离散分子构成的实际流体看成是由连续且没有间隙的无数流体质点组成的。所谓流体质点指的是微观上足够大，宏观上足够小的流体分子团，其统计平均可以反映稳定的宏观数值。微观上足够大的意思是流体质点的尺度大于分子运动的尺度，宏观上足够小的意思是流体质点的尺度小于流体运动的尺度。

有了连续介质假设，在研究海水运动时，就可以把离散分子的运动问题近似转化为连续充满整个空间的流体质点的运动问题。在此基础上我们可以把描述流体物理性质的各种物理量视为随空间和时间变化的连续函数，从而可以采用牛顿力学的基本规律和数学微积分等工具来解决问题。正是因为这样，连续介质假设是流体力学和物理海洋学里的一个基本假设。

引进连续介质假设后，需要注意：①海水是宏观的连续体而不是微观上包含大量分子的离散体；②在物理海洋学中谈到海水质点的位移，不是指个别海水分子的位移，而是指包含大量分子、在流体力学中看成是几何点的分子团的位移，特别当我们说海水质点处于静止状态时，那就是说它将留在原地不动，即使从微观角度来看那里的分子仍在做热运动。

2、基本守恒定律

“守恒”是深深烙印在物理学家脑中的核心思想之一。物理学家常常利用守恒定律来分析解决物理问题，它的主要思路是正确选择守恒的变量、列出守恒方程以及最后化简求解的过程。物理海洋学的整个学习过程也是沿着这个思路展开的。

物理海洋学主要是在动量守恒、质量守恒、盐度守恒、能量守恒以及角动量守恒这几个守恒定律基础之上建立起来的，其中能量守恒又包括热量守恒和机械能守恒。不同的守恒可以导出各自的方程(表2.1.1),这些方程的名字也隐含着它们的来源。本章所讲的物理海洋学基本方程组主要包括动量守恒、质量守恒、盐度守恒和热量守恒这4个守恒定律。而机械能守恒导出的波动方程和角动量守恒导出的涡度守恒方程则是通过另外的视角来更加生动地刻画一些特定的海水运动，它们更有利于我们了解海洋中的波动现象和水体的旋转运动过程。

守恒定律	基本方程
动量守恒	导出运动方程(纳维-斯托克斯方程)
质量守恒	导出连续性方程
盐度守恒	导出盐度扩散方程
能量守恒	热量守恒导出热传导方程机械能守恒导出波动方程
角动量守恒	导出涡度守恒方程

整个中国东部沿海陆架区可以看作是一个封闭的箱子，根据海水质量守恒定律，箱子内海水的总量是收支平衡的。而在实际的海洋学研究中，我们通常将大型的系统分成有限个封闭箱子，流体、化学物质或生物体可以在箱子之间移动，并且使用不同的守恒方程来限制系统内的相互作用。这便是所谓的箱式模型。如果一个系统中的箱子数量随着每一个箱子的缩小而增加到一个非常大的量值，那么我们最终就接近了微分学中的限制，这实际上是采用欧拉(Euler) 观点来获得微分方程的过程。

3、欧拉的理想流体

海水的运动是物理海洋学最为关注的问题。在高中我们学习过很多的运动学问题，比如滑块问题、弹簧问题、滑轮问题和单摆问题等。掌握了物体的初始状态，通过受力分析就可以非常准确地预测其后来的运动状态。这要感谢牛顿(Newton) 第二运动定律：

$\frac{d(mv)}{dt}=F$ (4-1)

对于单位质量海水微团，公式(4-1)还可以写成

$\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}=f_{m}=\sum_{i}^{}f_{i}$ (4-2)

其中， $\sum_{i}^{}f_{i}$ 为作用于单位质量海水微团上的合力。牛顿第二运动定律本质上就是动量守恒：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为0,那么这个系统的总动量保持不变。动量守恒是人类最早发现的一条守恒定律之一，它使我们掌握了宏观物体的基本运动规律。

我们高中所学的运动学问题基本都是刚体的运动，但是海水是流体。在研究刚体运动时，刚体内部密度保持不变，也就是刚体内部没有质点的迁移，因此刚体可以看作一个完整的系统来进行受力分析。我们可以一直跟踪刚体的运动，记录刚体的位置、速度、加速度及其他物理参数的变化，这种方法被称为拉格朗日(Lagrange) 法；而研究流体运动时，由于受流动空间变化(或压强变化)的影响，其内部流体质点往往会相互迁移，很难将一团流体看作一个整体来进行跟踪研究，因此我们常常采用欧拉 (Euler) 法。欧拉法不再跟踪运动的物体，而是将视角固定，采用前面提到的箱式模型，将一个区域分解成大量固定的封闭空间，分别研究每个封闭空间内的流体运动，进而得到整个流场的运动情况。拉格朗日观点与欧拉观点的不同就像是篮球比赛中的盯人战术与联防战术一样，盯人战术是每人盯住一个对手，而联防战术是每人负责防守一个区域。

（1）全导数

在进行运动学求导时，流体力学里的导数与刚体力学里的不一样。在拉格朗日观点下的刚体力学里，由于只有一个时间自变量，就叫导数；而在欧拉观点下的流体力学里，流体微团的运动改变受到某个位置的流场时间变化率(局地变化)和不同位置之间流场的空间变化率(平流变化)两个方面的影响。其实不仅是速度变化率受这两方面的影响，任意变量随时间的变化率都是这样，我们假设有一个变量q，它的变化率在欧拉观点下的微分过程可以写为

$\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{d} t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{q(x+\Delta x,t+\Delta t)-q(x,t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{q(x+\Delta x,t)-q(x+\Delta x,t)}{\Delta t}+\frac{q(x+\Delta x,t)-q(x,t)}{\Delta t}=\frac{\partial q}{\partial t}+\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\cdot \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{q(x+\Delta x,t)-q(x,t)}{\Delta t}=\frac{\partial q}{\partial t}+u\frac{\partial q}{\partial x}$ （4-3)

其中， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$ 被称为全导数； $\frac{\partial }{\partial t}$ 为局地变化项；u为沿x方向的速度； $u\frac{\partial q}{\partial x}$ 为平流项。在三维情况下全导数可写为

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}=\frac{\partial }{\partial t}+u\frac{\partial }{\partial x}+v\frac{\partial }{\partial y}+w\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\partial }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \bigtriangledown\left ( \right )$ (4-4)

其中， v是三维矢量速度，v=ui+vj+wk；▽是矢量场理论的运算符。

式(4-4)中将一个跟随粒子的坐标转换为一个在空间中固定的坐标，并将简单的线性导数转换为非线性偏导数。据此，式(4-2)可写为

$\frac{\partial v}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \bigtriangledown\left ( v\right )=\sum_{i}^{}f_{i}$ (4-5)

（2）压强梯度力

流体为不可压缩、不计黏性(黏度为0)的流体。其具体表达式为

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \bigtriangledown\left ( v\right )=-\frac{1}{\rho }\bigtriangledown p+F_{out}$ (4-6)

理想流体运动方程式

其中， $-\frac{1}{\rho }\bigtriangledown p$ 为压强梯度力，它是由流体内部不同位置水体微团间的压强分布不均匀引起的；Fout为水体微团受到的其他外力作用。压强梯度力表达式的推导过程如下。

考虑有一个小立方体海水微团。海水微团体积为 $\delta _{x}\delta _{y}\delta _{z}$ 各个面都受到海水压力，假设B面上受到的压强为p 。

压强梯度力的特征为：

(1)压强梯度力与等压线垂直，由高压指向低压。

(2)压强梯度力大小和压强梯度成正比，与流体密度成反比。

理想流体并没有考虑流体中的黏性，实际上理想流体在自然界中是不存在的，它只是真实流体的一种近似模型。但是，在分析和研究许多流体流动问题时，采用理想流体模型能使流动问题简化，又不会失去流动的主要特性并能相当准确地反映客观实际流动，所以这种模型具有非常重要的应用价值。

4、纳维-斯托克斯方程表达式

试想一下，如果我们有一瓶密度均匀的水体，这些水是不可压、没有黏性的理想流体。我们对其施加外力之后，此时水面是高低不平的，水面高的位置聚集的水就多，其内部就比水面低的位置压强大，由于受到压强梯度力的作用，水会从水面高的位置流向水面低的位置，这正是“水往低处流”的道理。此时的水体会在压强梯度力的作用下一直运动下去，因为系统中没有将机械能耗散掉的机制。要想让水体重新静止下来，就需要分子黏性力。

（1）分子黏性力

在理想流体运动方程式(4-6)的基础之上，法国工程师纳维(Navier) 加入了黏性作用，在1827年提出了黏性不可压缩流体动量守恒的运动方程。经过斯托克斯(Stokes) 等一系列科学家的完善，形成了构成流体力学以及物理海洋学核心的纳维—斯托克斯方程，简称 N-S方程：

分子黏性力对固体边界附近的流体运动产生重要作用，流体中靠近固体边界的分子会击中边界并把动量转移给边界，固体边界附近流体流速固定为0或者非常缓慢，这样它们与内部流体之间就会产生流速差，由于分子的不规则运动，不同流速的流体之间会产生分子的碰撞并交换动量，这会进一步降低内部流体的速度，形成一个速度逐渐变化的剖面(图2.1.3)。该过程仅在几毫米的“边界层”中起作用，这个作用范围就是“边界层厚度”。边界层厚度明显大于这个量级，这是因为在流体运动过程中，分子黏性力的摩擦作用是非常小的，真正起到摩擦作用的是后面会讲到的“湍流摩擦力”。

分子黏性力的形式是如何得到的呢?首先要了解分子黏性应力的概念，黏性应力的本质是物体为抵抗自身形变在单位面积上产生的内力。

同样的，在y方向和z方向上也分别有3个分子黏性应力。因此在流体的某一点上总共可以给出9个应力，同截面垂直的力称为正应力或法向应力，同截面相切的力称为剪应力或切向应力，统称应力张量。在不考虑外力的情况下，根据上述介绍的各个力可以得到纳维—斯托克斯方程式的三维表达式。

二、物理海洋学方程的建立

1、连续性方程

再加上之前的N-S方程目前我们得到了四个方程

如果认为流体密度p为常数，上述方程组为4个方程、4个未知数(u,v,w,p)组成的非线性偏微分方程组，理论上该问题在数学上是可解的。遗憾的是，由于非线性平流项的存在，目前数学家还不能给出这个方程组的解析解，这也是2000年在法兰西学院举行的“千年数学会议”上提出的“世界七大数学难题”之一。

2、运动方程的其他外力

物理海洋学中介绍的运动力学是流体力学的延伸，它是建立在 N-S 方程基础之上的。作为一门独立的学科，物理海洋学还需要考虑一系列的外力，我们会在这一节为大家介绍。

（1）科里奥利力与惯性离心力

物理海洋学与流体力学最大的不同，也是最有趣的地方在于物理海洋学需要考虑地球自身的旋转。N-S方程本质是动量守恒，表现为牛顿第二定律。但是牛顿第二定律只在惯性参考坐标系中成立。

在绝对空间中静止不动或匀速直线运动的参考坐标系即为惯性参考坐标系，在该类参考坐标系中牛顿运动定律都成立，力学规律的表达形式都一样。假如我们处在一个匀速下降的电梯中，我们做自由落体运动实验得到的结果与在静止的空间中得到的是完全一致的，它们都满足牛顿第二定律。而如果电梯加速下降，那么电梯可以看作是一个非惯性参考坐标系，此时物体是失重的，仿佛有一个力在托举着物体，这样我们得到的观测结果就不再满足牛顿第二定律了。但如果电梯外也有一个观察者，在以上两种情况下，他观测到的物体运动过程始终满足牛顿第二定律，因为该观察者始终处于惯性参考坐标系中。与电梯内观察者不同的是，电梯外的观察者可以观察到物体做自由落体运动实验前由于电梯加速下降所具有的初始加速度。

在惯性系中的观察者眼中，实验中物体的运动被称为“绝对运动”,其对应的速度为 “绝对速度Va”, 绝对运动是满足牛顿第二定律的。而电梯这个坐标系的运动被称为“牵连运动”,其对应的速度为“牵连速度Ve”,实验物体相对于电梯这个坐标系的运动被称为“相对运动”,其对应的速度为“相对速度V”, 这里有

Va=Ve+V (4-33)

对于地球上生活的人类，海水运动处于地球旋转坐标系中。旋转坐标系是非惯性参考坐标系，如果要找一个在惯性参考坐标系中的观察者，需要让他处于地球外的某一固定点。此时，地球自转带来的运动是牵连运动。而处于地球表面的我们所观察到的运动，都是相对于旋转坐标系的相对运动，是不能直接用牛顿第二定律来解释的。在现实生活中有很多这样的例子，如人们发现炮弹总是会偏离它的轨道，射向目标的右侧(在北半球);热带气旋在北半球沿着逆时针方向旋转而在南半球沿着顺时针方向旋转，仿佛有一种神秘的力在控制着这些运动。这个力实际上是不存在的，只是我们身处非惯性参考坐标系观察到的运动与我们脑中认知的运动(牛顿第二定律)不一致而产生的假象。1835 年，法国气象学家科里奥利(Coriolis)在描述旋转体系的运动时，在运动方程中引入一个假想的力——科里奥利力。引入科里奥利力之后，我们在旋转坐标系中观察到的运动又可以满足牛顿第二定律了，这大大简化了旋转坐标系下对运动的处理方式，因而科里奥利力很快在地球流体运动领域取得了成功的应用。

下面我们来看一下科里奥利力的推导过程。这里要提一下的是物理海洋学研究的是地球表面上的海水运动，因此使用球坐标系更为准确，但是球坐标系中运动方程的形式复杂，而忽略球面曲率影响的局地直角坐标系带来的误差非常小，因此物理海洋学运动方程组常采用后者。但是对于科里奥利力项来说，地球曲率的影响却是不得不考虑的，因为地球的旋转效应在不同纬度上的差异是非常大的。在旋转的球坐标系中，任何一点的牵连速度即切向速度，Ve=Ω×R，其中R 为所研究目标在球坐标系中的位置矢量； r 为纬圈半径矢量；Ω为地球的旋转角速度。每个恒星日地球自转一周的弧度为2π，因此： $\Omega =\frac{2\pi }{24\times 3600}=7.29\times 10^{-5}rad/s$ 。

科里奥利力的性质为：

(1)在地球上，只有运动的物体才受科里奥利力的作用。

(2)科里奥利力与速度垂直，只改变速度的方向不改变其大小，不做功。

(3)在北半球，科里奥利力使运动向右偏转；在南半球使运动向左偏转。在一个x轴指向东，y轴指向北，z轴指向上，原点固定在地面上的直角坐标系中，科里奥利力可以分解为

$-2\Omega \times V=-2\begin{vmatrix} i& j & k\\ 0&\Omega\cos \varphi &\Omega\sin \varphi \\ u&v &w \end{vmatrix}=2\Omega\left ( v\sin \varphi -w\cos \right )\overrightarrow{i}-2\Omega u \sin \varphi \overrightarrow{j}+2\Omega u \cos \varphi \overrightarrow{k}$ (4-39)

其中， i、j 、k 分别是x 、y 、z 方向的单位矢量；φ为观测点所处的纬度。这里要注

意，通常情况下垂向速度远小于水平速度， w<v, 所以2Qwcosφ 这一项不考虑，而 2Qucosφ要远小于z 方向上的重力加速度g, 也可以忽略(但对于在行驶的船只上用重力仪进行的重力测量，它是不容忽视的)。所以科里奥利力项一般只包括 fvi-fuj 这两项， f=22sinφ, 被称为科里奥利参数。关于这些简化，实际上是本着尺度分析的思想。

除了科里奥利力以外，另外一个虚拟力惯性离心力则与万有引力合在一起变成重力。

（2）重力

根据万有引力定律，地球质量为M，海水微团质量为m，则地球表面海水微团所受到的引力可表示为

$F=-\frac{GMm}{R^{2}}\overrightarrow{k}$ （4-40)

负号表示 F 的方向指向地心。那么单位质量海水微团所受的万有引力是

$\frac{F}{m}=g=-\frac{GM}{R^{2}}\overrightarrow{k}$ (4-41)

这个力仅与海水微团所处的位置有关，是一种有势力。惯性离心力也是一种有势力，因此可以将这两个力合为重力：

$g=g_{yin}+\Omega ^{2}r$ (4-42)

惯性离心力和重力都与海水微团所处的纬度有关。在两极点上，地球表面物体没有惯性离心力，重力等于地球引力。而在其他位置，重力是地球引力与惯性离心力的合力。在赤道地区惯性离心力和万有引力是反向的，部分抵消了万有引力，重力作用可以使地球呈赤道凸起的椭球形状。但是相比于地球万有引力来说，惯性离心力要小很多，在离心力最大的赤道上，也仅是地球引力0.35%。

（3）天体引潮力

除了地球对海水的万有引力之外，海水还受到其他天体的万有引力作用，其中主要是太阳和月球的引力作用，除此之外的天体因其质量太小或距离地球太远，引力作用基本可以忽略。太阳和月球的引力作用引起了我们所熟知的一种地球表面海水运动现象—潮汐现象，因此这种引力也被称为“引潮力”。潮汐现象是与人类关系最密切的海水运动现象，也是人类最早研究的一类海水运动问题。牛顿首先使用引潮力解释了潮汐运动。引潮力也是一种保守力，海水微团受到的引潮力只与其在日、地、月系统中所处的位置有关。由于星体的运行十分规律，我们很早就已经非常精确地掌握了日、地、月三者的运行规律，因此人类对于潮汐现象这种周期性运动的研究也相对成熟。

（4）湍流摩擦力

在考虑了科里奥利力、重力和天体引潮力之后，前面由N-S 方程与连续性方程组成

的式就发展为如下形式：

海洋湍流是海洋水体中任意点的运动速度的大小和方向都紊乱变动的流动，也称紊流或乱流。它能加强溶解质的扩散，动量和热量的分散转移，使能量从较大尺度的涡旋运动向较小尺度的涡旋运动转移。随着物质扩散和动量及能量的转移，湍流逐渐减弱，因此，只有外界不断向水体供给能量，才能使湍流现象维持下去。

湍流的一个重要特征是，它能使流体的动量和热量，以及所含的盐分等物质的扩散过程显著增强，并导致能量从较大尺度的涡旋运动向较小尺度的涡旋运动转移。尽管湍流看上去杂乱无章，但它依然符合流体动力学方程——纳维·斯托克斯方程。但由于流体动力学方程是非线性的，至今仍得不到湍流运动问题的普遍解。最早对湍流研究作出重要贡献的是雷诺，他从欧拉的观点出发，将流体动力学中的纳维·斯托克斯方程进行时间平均处理，导出了流体的时间平均运动方程，引入雷诺应力，并提出了湍流存在的判据——雷诺数。雷诺数等于流体的密度、流动的特征速度和特征长度三者的乘积同流体的动力黏性系数之比。当雷诺数很小时，水体处于层流状态，即处于稳定的、液层之间无明显的流体交换的规则状态；当雷诺数增大到某临界值之后，流体即从层流转变成湍流。1925年，普朗特提出了湍流运动的混合长度假说，得到冯·卡门等的发展，后来这种理论被称作湍流的半经验混合长度理论。1921年，泰勒从拉格朗日观点出发，提出了用拉格朗日速度相关函数研究湍流的方法。到了20世纪60年代，科尔莫戈罗夫分析了欧拉速度相关函数，将它应用于湍流研究中。后来莫宁和亚格洛姆等进一步发展了这种方法。用这两种方法建立起来的湍流理论，称为湍流统计理论。

在海洋中，无论湍流的尺度或是强度，其铅直分量和水平分量通常都极不相同，所以一般都分别进行研究。产生这种差别的原因，首先是因为海洋的水平尺度比铅直尺度大得多，其次是由于海水密度铅直稳定分层的影响，铅直方向的湍流黏性系数一般为1～10³cm²/s, 而水平黏性系数却达到了10⁵~10⁸ cm²/s, 两者相差悬殊。

湍流广泛存在于大气和海洋运动中。研究湍流的起因和特性的理论，包括两类基本问题：其一为湍流的起因，即平滑的层流如何过渡到湍流；其二为充分发展的湍流的特性。

湍流的起因

层流过渡为湍流的主要原因，是不稳定性。在多数情况下，剪切流中的扰动会逐渐增长，使流动失去稳定性而形成湍流斑，扰动继续增强，最后导致湍流。这一类湍流称为剪切湍流。两平板间的流体受下板面加热或由上板面冷却达到一定程度，也会形成流态失稳，触发许多小尺度的对流；上下板间的温差继续加大，就会形成充分发展的湍流。这一类湍流称热湍流或对流湍流。边界层、急流以及管道中的湍流属于前一类；夏天地球大气受下垫面加热后产生的流动属于后一类。

为了弄清湍流过渡的机制，科学家们开展了关于流动稳定性理论、分岔理论和混沌理论的研究，还进行了大量实验研究。

对于从下加热流层而向湍流过渡的问题，原来倾向于下述观点：随着流层温差的逐渐增加，在发生第一不稳定后，出现分岔流态；继而发生第二不稳定，流态进一步分岔；然后第三第四以及许多更高程度的不稳定接连发生；这种复杂的流动称为湍流。实验结果支持这一论点。但是，这一运动过程在理论上得不出带有连续谱的无序运动，而与实验中观察到的连续谱相违。最近，对不稳定系统的理论分析提出了另一种观点：在发生第一、第二不稳定之后，第三不稳定就直接导致一个可解释为湍流的无序运动。这一观点也得到实验的支持。

剪切流中湍流的发生情况更为复杂。实验发现，平滑剪切流向湍流过渡常会伴有突然发生的、作奇特波状运动的湍流斑或称过渡斑。可以设想，许多逐渐形成的过渡斑，由于一再出现的新的突然扰动而互相作用和衰减，使混乱得以维持。把过渡斑作为一种孤立的非线性波动现象来研究，有可能对湍流过渡现象取得较深刻的理解。因此，存在着不止一条通向湍流的途径。

过去认为，一个机械系统发生无序行为往往是外部干扰或外部噪声影响的结果。然而，最近观察到，在某个系统里进行确定的基本操作会导致混乱的重复发生。这类系统可认为含有一个能吸引系统维持混乱的奇怪吸引子。这种混乱现象称为短暂混沌。预期对这种短暂混沌的可普遍化特性的研究将会得到说明完全发展的湍流的新线索。

湍流基本方程

充分发展的湍流流动极其复杂，虽经一百多年的研究，成果却并不显著。目前大多数学者都是从纳维-斯托克斯方程出发而进行求解的。

大气和海洋中部摩擦相对较小，我们可以放心地认为是无摩擦的。在边界层中，摩擦不能忽略。与空气动力学中机翼研究所涉及的边界层不同，物理海洋学往往涉及运动边界层，如海表面。由于海-气分界面实质上是两种不同密度流体间的交接层，因此两种流体的交接面上要满足相同的速度。对于空气来说，该层叫做行星边界层。空气速度从每秒几米降至海流特征速度。而在该层以下，存在另一种边界层，我们称为埃克曼(Ekman) 层。海水经过埃克曼层，速度一般将进一步减小，降至海洋内部的流速。

3、热盐守恒过程及状态方程

物理海洋学与经典流体力学最大的不同除了前面提到的海水运动是旋转参考坐标系中的运动以外，另一个就是海水经常是“层结”的。海洋层结指海水的密度、温度、盐度等热力学状态参数随深度分布的层次结构。也就是说海水的密度在垂直方向上是不断变化的，它主要与海水的温度0、盐度s和压强p有关。因为又多出了3个未知量θ、s、 p，因此我们还需要另外3个方程才能让方程组重新闭合。这就用到了盐度扩散方程与热传导方程，另外一个方程则是反映海水密度、温度、盐度和压强力之间关系的数学表达式—海水状态方程。

（1）盐度扩散方程

根据盐度守恒定律，海水中的盐度在海水运动过程中既不会增加也不会减少。对于固定几何空间，单位时间内该空间盐度的增加量应等于以下两部分之和：①通过该空间表面随流动进入空间内部的盐度；②由于盐分子扩散现象而进入该空间的盐度。其中盐分子扩散现象是指盐分子的不规则运动总是从高盐度向低盐度运动的现象，其量值取决于盐度梯度。

（2）热传导方程

使用相同的方法，将盐度s替换为海水温度θ，单位体积海水所含的盐度 $\rho _{s}$ 替换为单位体积海水所含的热量 $\rho c_{p}\theta$ ，此处 $c_{p}$ 为海水的比定压热容；假定分子热通量仅依赖于温度梯度，表达式为 $-\kappa \bigtriangledown \theta$

其中， $K_{\theta l}$ 和 $K_{\theta z}$ 分别为水平湍流热传导系数和垂直湍流热传导系数。后三项为湍流热通量。

（3）海水状态方程

海水状态方程是表示海水密度、温度、盐度和压强之间关系的方程式：

ρ=ρ(s,θ,p) （4-67）

海水状态方程是一个非线性方程，参考联合国教科文组织(UNESCO) 在1980年和2010年推出的海水状态方程表达式EOS-80和TEOS-10。通常情况下，为了使问题简化，海水状态方程可以简化为线性的形式：

ρ=ρ₀[1-a(θ-θ0)+β(s-s₀)] （4-68）

其中，po=1028kg/m³;0₆=10℃=283K;s₀=35 psu;α,β分别为海水热膨胀系数和盐收缩系数，可取α=1.7×10*K-¹,β=7.6×10⁴psu-¹。

海水状态方程的时间平均形式可直接写为

$\overline{\rho }=\overline{\rho }\left ( \overline{s },\overline{\theta },\overline{p } \right )$ (4-69)

（4）物理海洋学时间平均基本方程组

至此，我们将运动方程式左侧分别减去时间平均的连续方程式与u，v，w的乘积，然后与连续方程式、盐度扩散方程式、热传导方程式和海水状态方程式联立便得到了物理海洋学中局地直角坐标系下时间平均基本方程组。简便起见，一般将时间平均方程中的平均符号略去：

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}= -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \Delta u+fv+F_{Tx}+A_{l}\left ( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right )+A_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}= -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\nu \Delta v-fu+F_{Ty}+A_{l}\left ( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right )+A_{z}\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\\ \frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}= -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}+\nu \Delta w-g+F_{Tz}+A_{l}\left ( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right )+A_{z} \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\\ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \\ \frac{\partial s}{\partial t}+u\frac{\partial s}{\partial x}+v\frac{\partial s}{\partial y}+w\frac{\partial s}{\partial z} = k_{D}\Delta s+K_{sl}\left ( \frac{\partial^2 s}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 s}{\partial y^2}\right )+K_{sz}\frac{\partial^2 s}{\partial z^2}\\ \frac{\partial \theta}{\partial t}+u\frac{\partial \theta}{\partial x}+v\frac{\partial \theta}{\partial y}+w\frac{\partial \theta}{\partial z} = k_{\theta}\Delta \theta+K_{sl}\left ( \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2}\right )+K_{sz}\frac{\partial^2 \theta}{\partial z^2}\\ \rho =\rho \left ( s,\theta ,p \right )\\ \end{matrix}\right.$ (4-70)

该方程组理论上涵盖了湍流、海浪、潮汐、风生大洋环流和深层环流等我们要学习的物理海洋学中所有的海水运动形态，是本书的基本出发点。

三、物理海洋方程的处理方法

物理海洋学时间平均基本方程组是一个由7个方程、7个未知数组成的非线性偏微分方程组，我们知道这个方程组目前是没有解析解的。虽然数学上没有解，但是物理海洋学家还是需要对这个方程组进行不同的处理，从而可以用它来描述不同的物理海洋现象。例如我们在推导方程组时已经用到的忽略球面曲率影响，而采用局地直角坐标系的处理；忽略科里奥利力项中的2Ωwcosφ 和 2Ωucosφ 两项等。本节我们就来专门介绍针对物理海洋学方程组的一些主要处理方法。

1、主要的近似和边界条件

（1）布西内斯克(Boussinesq) 近似

首先来介绍下布西内斯克近似，它是由法国物理学家和数学家布西内斯克在20世纪初为求解层结流体控制方程组而提出的(Boussinesq，1903)。它的基本假设包括：①流体是不可压的，连续方程中不考虑密度的个别变化，从而以体积守恒代替了质量守恒；②动量方程中密度扰动值仅在垂向运动方程中阿基米德浮力项有意义，而在水平动量方程中密度取为常数。这个假设大大简化了运动方程。布西内斯克近似已成为海洋模式的经典假设，被广泛应用于现代的海洋环流模式中。

（2）f-平面近似

方程组中科里奥利参数f的大小是随纬度φ变化的，表现为 $f=2\Omega sin\varphi$ 。

在理论研究中，如果研究的海域纬度跨度不大，常可以近似认为科里奥利参数不变，即f平面近似，取

$f=f_{0}=2\Omega sin\varphi$ (4-71)

即在整个研究海区，认为纬度为同一值φ，海水运动发生在一个等f0面上，在30°N，f₀≈7.29×10-⁵rad/s 。注意该假设只适用于纬度跨度不大的研究海域。

（3）β-平面近似

对于纬度跨度较大的研究海域，需要考虑f随φ的变化。为了简单起见，只考虑 f 随φ变化的一阶项，而且由于使用的是局地直角坐标系，f随φ的变化可近似地用f随y轴的变化来代替

f=f₀+βy （4-72）

其中

$\beta =\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} y}=2\Omega \cos \varphi _{0}\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} y}=\frac{2\Omega \cos \varphi _{0}}{R}$ （4-73）

在30°N，β≈1.98×10-1rad/(m·s)。采用β-平面近似的好处是可以方便使用局地直角坐标系讨论大尺度运动，而球面效应引起的f随φ的变化对运动的作用的主要部分被保留下来。

（4）边界条件

根据偏微分方程理论，求解时间平均基本方程组需要给定一系列的边界条件。海气界面和海陆界面等不连续的界面，不满足海水运动基本方程组，必须重新确定其物理过程。物理海洋学家会根据实际和需要来选用不同的边界条件，以达到简化和求解方程的目的，我们会在后文进一步了解他们使用的不同边界条件。

2、尺度分析方法

时间平均基本方程组中包含了所有尺度的运动形式，但实际上如果我们把目光聚焦于某个尺度时，我们看到的物理现象是不同的，比如在大尺度我们可能看到的是海流，而在小尺度我们可能看到的是海浪。不同运动形式是受到方程中某些项的影响，在特定的尺度下，某些项的影响较大，而其他项的影响较小(一般是不在一个量级上的)，那么这些影响较小的项就可以忽略不计，仅考虑影响较大的项就可以相当精确地描述和解释该尺度下的海洋运动形式和变化规律。

尺度分析方法就是一种常用的简化方程的方法，根据某种具体运动的时空尺度，分析时间平均基本方程组中各项量级的相对大小，从而简化和求解方程。尺度分析法是物理海洋学家求解基本方程组、研究物理海洋现象的最有力武器。

首先，任意一个物理量y可以写成特征值Y与无因次量 $\widetilde{y}$ 的乘积： $y=Y\widetilde{y}$ ，特征值 Y 称为变量y的尺度，可取该物理量的最大值、平均值或常见值等。如果有两个变量 $y=Y\widetilde{y}$ 和 $x=X\widetilde{x}$ ，其一阶导数为可写为 $\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{Y}{X}\frac{\partial \widetilde{y}}{\partial \widetilde{x}}$ ，尺度可写为 $\frac{Y}{X^{2}}$

接下来我们对式中的运动方程组做尺度分析。在做尺度分析之前我们先将分子黏性力和天体引潮力两项忽略，因为分子黏性力项影响很小，只在讨论1m以下尺度的问题时才会起作用，在我们关心的海洋各尺度运动中分子黏性力都远小于湍流摩擦力作用；天体引潮力则是物理过程比较单一的有势力，单独分析。同时我们先不忽略科里奥利力项式中的2Ωwcosφ和2Ωucosφ两项，由于f=2Ωsinφ，所以这两项可分别写为 fwcotφ和fucotφ。此时运动方程组变为
$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}= -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+fv-fwcot\varphi +A_{l}\left ( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right )+A_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}= -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}-fu+A_{l}\left ( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right )+A_{z}\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\\ \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}= -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+fucot\varphi +A_{l}\left ( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right )+A_{z}\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\\ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \end{matrix}\right.$ (4-74)

式中各物理量的无因次形式为

（4-75）

这里有L=UT;D=WT，其中，L和D分别表示海水运动的水平和垂直尺度；T为时间尺度；U 和 W 分别为水平和垂直流速尺度； F 为科里奥利参数尺度； P 为压强尺度。前面说过，物理海洋学中最有特色的地方就是研究海水运动时需要考虑科里奥利力，科里奥利力是大尺度运动中必不可少的一个要素，为了方便比较各项与科里奥利力项量级的差异，我们将运动方程组变成无因次形式后各项都除以科里奥利力项的尺度FU:

（4-76）

其中，Ro为罗斯贝数；E₁和 E₂分别是水平和垂直埃克曼数；δ为纵横比。这4个参数可以用来衡量时间平均运动方程组内各项的相对大小，定义如下。

（1）罗斯贝数

罗斯贝数是平流项的尺度与科里奥利力项的尺度之间的比值：

（4-77）

其中，科里奥利参数项的尺度F约为10*rad/s，而海洋中的水平流速较强的时候也就 1m/s 。因此当Ro<1时，需要L>10⁵m，此时为大尺度运动。大尺度运动中科里奥利力的量级比平流项更大，因此平流项可以忽略；当Ro为0.5～1时，为中尺度和次中尺度运动；当Ro>1时，需要L<10³m，此时为小尺度运动，平流项的量级比科里奥利力项更大，因此科里奥利力可以忽略，运动问题回归到经典流体力学问题。

（2）埃克曼数

埃克曼数是湍流摩擦力项的尺度与科里奥利力项的尺度之间的比值：

（4-78）

其中，Al 约10⁴m²/s，At 约10-²m²/s 。在研究大洋内部的环流时，水平尺度(L>10⁵m)和垂直尺度(D>10³m)都很大，E1和E₂<<1，此时湍流摩擦力可以忽略；在海面边界层和海底边界层， D 约为10m, 此时Ez约为1，需要同时保留垂直湍流摩擦力和科里奥利力；在水平尺度L 为10^4m 范围内的侧边界区域，此时Et约为1,则需要同时保留水平湍流摩擦力和科里奥利力；对于水平尺度L和垂直尺度D都很小的小尺度运动，科里奥利力可以忽略。

（3）纵横比δ

纵横比δ指垂直和水平尺度的比值，可表示为

（4-79）

在大尺度运动中，海洋的水平尺度可达几千千米，而平均水深最多只有千米量级，因此δ<1。这也是我们常忽略运动方程组中科里奥利力2Ωwcosφ 的原因。

（4）准静力平衡近似

综上所述，在大洋内部的大尺度运动中Ro<1，E和E₂<1,δ<1。如果我们看式(2.3.6)中的垂向方程，可以发现平流项与湍流摩擦力项的系数都是远小于1的，科里奥利力项的系数为1,而压强梯度力项和重力项则远远大于1。因此垂向的运动方程可简化为

（4-80）

沿z 方向由特定深度h 到自由海面ξ积分，可得压强表达式

（4-81）

其中，pa是海面大气压强，因此任意点的压强等于海面大气压强pa与该点以上单位面积水柱重量 $\int_{-h}^{\zeta}\rho gdz$ 和。这就是物理海洋学中经常使用的准静力平衡近似。如果密度为常数，则准静力平衡方程还可以进一步写为

$p=p_{a}+\rho g(\zeta +h)$ (4-82)

3、散度与流函数、涡度与势函数

在方程组求解的过程中，常可以引入流函数或势函数来代替速度场，这样做的好处是利用一个变量就可以描述整个流体的运动，从而简化了问题，使得方程容易求解。但是流函数和势函数的引入也是需要一定条件的，引入流函数需要流场的散度为0，即无辐散；引入势函数需要涡度为0,即无旋。

（1）散度与流函数

散度是描述流体从周围汇合到某一处(辐合)或从某一处流散开来(辐散)程度的量。为简单起见，这里只讨论二维流体的水平速度矢量V=(u,v)的散度。数学表达式为

$div(\overrightarrow{v})=\bigtriangledown \cdot \overrightarrow{v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$ (4-83)

由此可以看出散度为单位体积的流体体积通量。div(V)<0表示流体净流入；div(V)>0 表示流体净流出。

在物理海洋学中，由于纵横比远小于1，对于水平速度u、v来说，垂向速度w常可以忽略不计，根据连续性方程式近似为0。对于散度为0的速度矢量场，可以取流函数y来与各速度分量建立联系。此时ψ可表示为

$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$ (4-84)

其中，u、v这两个变量就转化为一个变量ψ，原先的矢量场也转化为标量场，这个标量场就是流函数场。流函数等值线也叫流线，实际上是由每一点的速度切线方向组成的瞬间性的曲线。

在两流线ψ₁和ψ₂之间加一条任意的线 dm=(-dx,dy)，根据式 (4-84)，通过dm 的体积通量可表示为

(4-85)

因此，对于稳定的流动而言，任意两条流线之间的体积通量为dψ=ψ₂-ψ₁，流动左侧为流函数的高值。流线的值本身是没有意义的，可以取任意一条流线为0线，只有流线之间的差值才有意义，流线越密集的地方，流体体积通量越大。流函数使得某些流动对应的方程更加简洁，而且对于流场的可视化也是很有用的，如在第6章风生大洋环流理论中就用到了流函数。

（2）涡度与势函数

涡度是指流体的旋转速率，也被称为旋度。对于二维流体的水平速度矢量V=(u,v)

来说，涡度的数学表达式为

（4-86）

可以看出流体的速度剪切是引起涡度的主要原因。从上往下看， curl₂(V)>0 时，流体逆时针旋转； curl₂(V)<0 时，流体顺时针旋转。

对于涡度为0的流体而言，可以取势函数φ与各速度分量建立联系。此时φ可表示为

（4-87）

与流函数相同，势函数也可以大大简化对流动方程的求解过程。

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海洋科学—物理海洋学 第四章 物理海洋学基础方程与公式_海浪的雷诺数