机器学习入门（11）——聚类(Clustering)_聚类中心

在无监督学习中，我们需要将一系列无标签的训练数据，输入到一个算法中，然后我们告诉这个算法，快去为我们找找这个数据的内在结构给定数据。图上的数据看起来可以分成两个分开的点集（称为簇），一个能够找到我圈出的这些点集的算法，就被称为聚类算法。

K-均值算法（K-Means Algorithm）

K-均值是最普及的聚类算法，算法接受一个未标记的数据集，然后将数据聚类成不同的组。
K-均值是一个迭代算法，假设我们想要将数据聚类成n个组，其方法为:

1. 首先选择K个随机的点，称为聚类中心（cluster centroids）；
2. 对于数据集中的每一个数据，按照距离K个中心点的距离；
3. 将其与距离最近的中心点关联起来，与同一个中心点关联的所有点聚成一类；
4. 计算每一个组的平均值，将该组所关联的中心点移动到平均值的位置。
5. 重复步骤2-4直至中心点不再变化。

Repeat {
for i = 1 to m
c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i)
for k = 1 to K
μk := average (mean) of points assigned to cluster k
}
1
2
3
4
5
6

优化目标（Optimization Objective ）

随机初始化（Random Initialization）

在运行K-均值算法的之前，我们首先要随机初始化所有的聚类中心点，做法如下：

1. 选择K<m，即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量
2. 随机选择K个训练实例，然后令K个聚类中心分别与这K个训练实例相等
   K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。
   
   为解决这个问题，我们通常需要多次运行K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在K较小的时候（2–10）还是可行的，但是如果K较大，这么做也可能不会有明显地改善。

选择聚类数（Choosing the Number of Clusters）

没有所谓最好的选择聚类数的方法，通常是需要根据不同的问题，人工进行选择的。选择的时候思考我们运用K-均值算法聚类的动机是什么，然后选择能最好服务于该目的标聚类数。
当人们在讨论，选择聚类数目的方法时，有一个可能会谈及的方法叫作“肘部法则”。关于“肘部法则”，我们所需要做的是改变K值，也就是聚类类别数目的总数。我们用一个聚类来运行K均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数J。K代表聚类数字。

“肘部法则”的曲线类似于上图，看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿。这种模式的畸变值会迅速下降，从1到2，从2到3之后，在3的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用3个聚类来进行聚类是正确的，这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快，K=3之后就下降得很慢，那么我们就选K=3。当应用“肘部法则”的时候，如果得到了一个像上面这样的图，那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法。