马尔科夫预测详解（凡是过往，皆为序章）+MATLAB求解典型例题

作者：从前慢现在也慢 | 2024-04-07 20:08:26

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马尔科夫预测

本文为北海的数模课程学习笔记，课程出自微信公众号：数学建模BOOM。

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模型简介

状态有限：如果无限，可以通过设置不同阈值变成有限。
未来的状态只与现在有关：但是求概率时也要考虑过去的概率。
概率随机：只能求明天处于某一种状态的概率。

一个n+1只会被n影响的典型例子：基因只用看父母，不用看祖父母

与其他模型对比：

• 其他预测模型：计算的是 “ 数值 ” ，理论上是无数种可能（常见实数集合，比如噪声值）

• 马尔科夫预测：计算的是 “ 概率 ” ，需要有限种已知的可能结果（比如几种方案）

模拟退火就是一个马尔科夫过程

适用赛题

基本的特点：状态随机，下一阶段的状态只与当前有关

预测人下一年的健康状态。
商家根据本周销售量预计下周进货量。
预测明年是否升职。

原理讲解

时齐性：两种状态转换的概率，只与时间间隔有关。一般带有周期性的问题才满足时齐性。

在面对销售类问题时，可以在论文的模型假设中写“假设销售规律满足时齐性”。

典型例题

注意是把矩阵乘n次。

代码求解

求一步转移矩阵

• 一般需要根据已知数据，求出一步转移矩阵的估计值

• 需要遍历已知数据，统计每一组相邻两个状态的数量（找出有多少个 “1 1” , “1 2” ,…… ）

• 如果题目所定的系统状态是文字（例如张三的四种状态），那么在写代码时，可以自行定义

不同状态对应的数字，写出矩阵

一步转移概率： $\hat{p}_{i j}=\frac{n_{i j}}{\sum_{j=1}^4 n_{i j}}$


clc, clear
 
% 题目给我们的是把数据写成了多行，需要把数据改成一行，才方便后面的运算
a0=[4  3  2  1  4  3  1  1  2  3 
   2  1  2  3  4  4  3  3  1  1
   1  3  3  2  1  2  2  2  4  4
   2  3  2  3  1  1  2  4  3  1];
a1=a0';   % 转置
a2=a1(:);    % a1(:)为每列合并成一个长的列向量
a=a2';       % 转置后为一个行向量
 
%遍历整个字符串，统计每种子字符串的个数
%也就是求任意两种状态相邻的总次数
for i=1:4
   for j=1:4
      f(i,j)=length(strfind(a,[i j])); %统计每种子串的个数
   end
end
 
ni=sym(sum(f,2));  %sum中的2表示对矩阵f按行求和。若调用sym可转换为符号数也就是分数
P=f./ni    %状态转移矩阵的估计值,也就是i到j的概率
 
p0=[0.2 0.3 0.3 0.2];
p5=p0*(P^5)

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