背包问题——“01背包”及“完全背包”装满背包的方案总数分析及实现_01背包问题总方案数

-----Edit by ZhuSenlin HDU

        本人博文《背包问题——“01背包”最优方案总数分析及实现》及《背包问题——“完全背包”最优方案总数分析及实现》中分别谈过“01背包”和“完全背包”实现最大价值的方案总数，这里我们再讨论一下这两种背包被物品刚好装满的方案总数。

        网上各大公司经常出题目：假设现在有1元、2元、5元的纸币很多张，现在需要20块钱，你能给多少种找钱方案，这就可以认为是完全背包问题，即背包容量为20，物品体积分别为1、2、5。

        还有公司出题目：给定一个数m，将m拆成不同的自然数的和的形式有多少种方案，这就是典型的01背包问题，背包容量为m，物品件数为k，这里面的k是隐含条件，可以求出来，因为m最多由1+2+…+k得到，由此可以根据m求得物品件数的上限。

 

       现在切入正题，我们先谈“01背包”将背包刚好装满的方案总数。“完全背包”和“01背包”极为相似，只有极少量代码变动。

 

       01背包装满的问题抽象化：

       设背包容量为V，一共N件物品，每件物品体积为C[i]，每件物品的价值为W[i]，求将背包装满的方案总数。

       1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中刚好把背包装满的方案总数。

       2） 根据第i件物品体积和所剩背包容量大小进行决策

                                              (1-1)

       注意初始化条件为F[0][0]=1，即没有物品放入容量为0的背包刚好放满的方案数为1。

       故可得伪代码如下：

	F[0][0] ← 1
 
  	for i ← 1 to N
 
      		do for j ← 0 to V
 
          	     if (j < C[i])
 
                         then F[i][j] ← F[i-1][j]
 
          	     else
 
             		 F[i][j] ← F[i-1][j]+F[i-1][j-C[i]]
 
  	return F[N][V]
 

        上述代码的空间复杂度为O(NV)，由状态方程可知，F[i][]只与F[i-1][]的状态有关，故可以用一维数组来代替二维数组，以降低空间复杂度为O(V)。

        降低空间复杂度为O(V)的伪代码如下：

	F[0] ← 1
 
  	for i ← 1 to N
 
      		do for j ← V to C[i]
 
          	   if (j >= C[i])
 
              		then F[j] ← F[j]+F[j-C[i]]
 
  	return F[V]
 

         注意对V的遍历变为逆序，至于为什么这样，请看本人博文《背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解）》。

        接下来看看“完全背包”到底有哪些变化。看过《背包九讲》或者本人博文《背包问题——“完全背包”详解及实现（包含背包具体物品的求解）》的读者应该会能很快想到状态方程的变形，如下：

                                   (1-2)

        不错，状态方程是这样。F[i-1][j]表示背包中不含第i种物品时把背包装满的方案，F[i][j-C[i]]表示至少包含一件第i种物品把背包装满的方案总数。所以，当j<C[i]时F[i][j] = F[i-1][j]；当j >= C[i]时， F[i][j] = F[i][j-C[i]] + F[i-1][j],为什么是两者的和，因为F[i][j-C[i]]和F[i-1][j]都是[i][j]状态时把背包装满的方案，且两者互斥。

       伪代码如下：

	F[0][0] ← 1
 
  	for i ← 1 to N
 
      	    do for j ← 0 to V
 
          	if (j < C[i])
 
                         then F[i][j] ← F[i-1][j]
 
          	else
 
              	      F[i][j] ← F[i-1][j]+F[i][j-C[i]]
 
  	return F[N][V]

        同样上述伪代码的空间复杂度为O(NV)，我们也可以通过用一维数组来降低空间复杂度为O(V)。

        伪代码如下：

	F[0] ← 1
 
	for i ← 1 to N
 
      	    do for j ← C[i] to V
 
          	if (j >= C[i])
 
              	    then F[j] ← F[j]+F[j-C[i]]
 
  	return F[V]

         注意：上面对V的遍历为正序，为什么？请参考本人博文《背包问题——“完全背包”详解及实现（包含背包具体物品的求解）》。

 

下面提过两种这两种背包的实现代码

01背包装满的方案总数：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include "CreateArray.h"	//该头文件是动态创建和销毁二维数组的，读者自己实现
 
using namespace std;

//时间复杂度O(NV)空间复杂度O(NV)

int Package01_FullOfPackage(int Weight[], int nLen, int nCapacity)
{
	int** MethodTable = NULL;
	CreateTwoDimArray(MethodTable,nLen+1,nCapacity+1);
	MethodTable[0][0] = 1;
 
	for(int i = 1; i <= nLen; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= nCapacity; j++)
		{
			if(j < Weight[i-1])
				MethodTable[i][j] = MethodTable[i-1][j];
			else
				MethodTable[i][j] = MethodTable[i-1][j] + MethodTable[i-1][j-Weight[i-1]];
		}
	}
 
	cout << "MethodTable:" << endl;
	PrintTowDimArray(MethodTable,nLen+1,nCapacity+1);
 
	int nRet = MethodTable[nLen][nCapacity];
	DestroyTwoDimArray(MethodTable,nLen+1);
	return nRet;
}

//时间复杂度O(NV)空间复杂度O(V)

int Package01_FullOfPackage_Compress(int Weight[], int nLen, int nCapacity)
{
	int * MethodTable = new int [nCapacity+1];
	memset(MethodTable,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
 
	//initiallize all MethodTable[0] with 1
	MethodTable[0] = 1;
 
	for(int i = 0; i < nLen; i++)
	{
		for(int j = nCapacity; j >=Weight[i]; j--)
		{
			if(j >= Weight[i])
				MethodTable[j] += MethodTable[j-Weight[i]];
		}
	}
 
	int nRet = MethodTable[nCapacity];
	delete [] MethodTable;
	return nRet;
}

//测试代码 

int main()
{
	//int Weight[] = {1,1,1,1,1,1};
	int Weight[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
	int nCapacity = 20;
	cout << "AllCount:" << Package01_FullOfPackage(Weight,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
	cout << "AllCount:" << Package01_FullOfPackage_Compress(Weight,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
	return 0;
}

 

完全背包装满的方案总数：

//时间复杂度O(NV)空间复杂度O(NV)

int Package02_FullOfPackage(int Weight[], int nLen, int nCapacity)
{
	int** MethodTable = NULL;
	CreateTwoDimArray(MethodTable,nLen+1,nCapacity+1);
 
	MethodTable[0][0] = 1;
 
	for(int i = 1; i <= nLen; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= nCapacity; j++)
		{
			if(j < Weight[i-1])
				MethodTable[i][j] = MethodTable[i-1][j];
			else
				MethodTable[i][j] = MethodTable[i-1][j]+MethodTable[i][j-Weight[i-1]];
		}
	}
 
	cout << "MethodTable:" << endl;
	PrintTowDimArray(MethodTable,nLen+1,nCapacity+1);
	
	int nRet = MethodTable[nLen][nCapacity];
	DestroyTwoDimArray(MethodTable,nLen+1);
	return nRet;
}

//时间复杂度O(NV)空间复杂度O(V)

int Package02_FullOfPackage_Compress(int Weight[], int nLen, int nCapacity)
{
	int * MethodTable = new int [nCapacity+1];
	memset(MethodTable,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
 
	//initiallize all MethodTable[0] with 1
	MethodTable[0] = 1;
 
	for(int i = 0; i < nLen; i++)
	{
		for(int j = Weight[i]; j <= nCapacity; j++)
		{
			if(j >= Weight[i])
				MethodTable[j] += MethodTable[j-Weight[i]];
		}
	}
 
	int nRet = MethodTable[nCapacity];
	delete [] MethodTable;
	return nRet;
}

//测试代码 

int main()
{
	int Weight[] = {1,2,5};
	//int Weight[] = {2,2,2};
	int nCapacity = 20;
	cout << "AllCount:" << Package02_FullOfPackage(Weight,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
	cout << "AllCount:" << Package02_FullOfPackage_Compress(Weight,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
	return 0;
}

本文部分内容参考《背包九讲》