微积分基础之图形面积（体积）计算_微积分求面积

作者：人工智能uu | 2024-07-16 11:20:59

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微积分求面积

微积分基础之图形面积（体积）计算

一、平面图形面积
- 1、简单图形的面积
立体图形表面积和体积
终极问题——甜甜圈的体积

一、平面图形面积

$\boxed{积分的要领1：以长方形为基础来思考}$

1、简单图形的面积

(1)长方形

长 $\times$ 宽，~~不会的请离开~~

(2)三角形

底 $\times$ 高/2，~~不会的请离开~~

(3)平行四边形

底 $\times$ 高，~~不会的请离开~~

(4)梯形

$($ 上底 $+$ 下底 $)\times$ 高/2，~~不会的请离开~~

2、稍微复杂一点的图形面积

$\boxed{积分的要领2：把图形看作小长方形的组合}$

(1)圆

法1：

用圆规在方格纸上画一个圆，接着数一数圆中的方格数
我在边长为 $1 m m$ 的方格纸上画了一个半径为 $2 c m$ 的圆，我算(shǔ)出圆中共有 $1189$ 个格子，所以我们算出的圆周率是 $2.9725$
虽然这个误差很大，但是，随着格子边长的缩小，我们的准确度就越高

法2：

有什么办法可以提高精度吗？有，如图，我们把圆分成细长的小条来求~~由于我太懒了，所以只画了3条~~

每一个小条的宽度是 $\Delta x$ ，表示非常小的数值
这样，我们可以得出圆的面积 $=\int_{左端}^{右端}短条在x值对应的长度dx$
$d x$ 可以理解为 $\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x$
我做了一个实验，计算半径为 $1 c m$ 的圆，把它分成

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