梯度下降与反向传播_梯度回传到输入上怎么解决

梯度下降算法

基于梯度的优化是优化一个函数的最终取值。输入参数**$\omega$**，需要优化的函数是$J(\omega )$，基于梯度的优化即通过改变$\omega$使得最大化或最小化$J(\omega )$，称$J(\omega )$为目标函数。

对于一元函数$l=J(\omega )$，它的导数记为$J^{\prime }(\omega )$，输入$w$发生微小变化$\sigma$时，输出也发生变化，可以近似为
$$J(w+\sigma )\approx J(w)+\sigma J^{\prime }(w)$$
假设存在的$\sigma$足够小，则有$J(w-\sigma \ast sign(J^{\prime }(w)))<J(w)$，其中$sign$是符号函数。当$J^{\prime }(w)$小于0时，随着$w$增加，$J(w)$减小，而当$J^{\prime }(w)$大于0时，随着$w$减小，$J(w)$才能减小。$w$的变化方向(+或者-)与导数$J(w)$的方向(正负)相反。

多元函数：方向导数与梯度的理解，参考博客https://www.cnblogs.com/wangguchangqing/p/10521330.html#autoid-0-0-0

方向导数

方向导数是指$z=f(x,y)$在某一点$P$沿着某个方向$l$的变化率，是一个数值。记为
$$\frac{\partial f}{\partial l}={lim}_{\rho \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }$$
自点$P$引射线$l$，与$X$正轴方向的夹角为$\theta$，与函数$z=f(x,y)$的交点$P^{\prime }(x+\Delta x,y+\Delta y)$，函数在$P、P^{\prime }$的增量为$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$，两点之间的距离$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。若$P^{\prime }$沿着$l$趋近于$P$，如果增量与距离比值的极限存在，称该值为函数在$P$处的方向导数，即公式(2)。

同时，若函数在$P$处可微，则有$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \Delta y+o(\rho )$，

两边同除以$\rho$，可以得到
$$\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \sin \theta +\frac{o(\rho )}{\rho }$$
取极限得到
$$\frac{\partial f}{\partial l}={lim}_{\rho \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }=f_x\cdot \cos \theta +f_y\cdot \sin \theta$$

梯度

梯度是指是这样一个向量：每个元素为函数对一元变量的偏导数，它的大小即为最大方向导数。梯度记为
$$\nabla f=gradf(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot i+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot j$$
梯度与方向导数的联系：

设向量$e=\cos \theta \ast i+\sin \theta \ast j$与$l$同方向，根据方向导数的计算公式，有
∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ = [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ] [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ] = ∇ f ⋅ e = ∣ ∣ ∇ f ∣ ∣ cos ⁡ &lt; ∇ f , e &gt; \frac {\partial f}{\partial l} =\frac {\partial f} {\partial x}\cos \theta +\frac {\partial f} {\partial y}\sin \theta =

$$\begin{bmatrix} \frac {\partial f} {\partial x} &amp; \frac {\partial f} {\partial y}\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{bmatrix}$$ = \nabla f \cdot e =||\nabla f|| \cos&lt;\nabla f,e&gt; ∂l∂f​=∂x∂f​cosθ+∂y∂f​sinθ=[∂x∂f​​∂y∂f​​][cosθsinθ​]=∇f⋅e=∣∣∇f∣∣cos<∇f,e>
其中$\cos <\nabla f,e>$表示梯度$\nabla f$与向量的夹角，$||\nabla f||$表示梯度的大小。可以看到，当方向向量与梯度同方向时，方向导数达到最大值，且最大值等于梯度的大小。

最大方向导数的等于梯度的模，$||\nabla f||=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$，而梯度的方向由梯度向量与$X$轴的角度给出，$\alpha (x,y)=\arctan \frac{f_y}{f_x}$

由上述可得，函数在某点沿着梯度的方向增长最快，逆梯度方向减小最快。因此，要想求得函数的极小值（或最小值），可以通过沿逆梯度方向变化，不断下降找到极小值。

$eg:$

函数$J(\theta )=2-3{\theta }_1+4{\theta }_2-5{\theta }_3$，则梯度为
∇ J ( θ ) = [ ∂ J ∂ θ 1 ∂ J ∂ θ 2 ∂ J ∂ θ 3 ] = [ − 3 4 − 5 ] \nabla J(\theta)=

$$\begin{bmatrix} \frac {\partial J} {\partial \theta_1} &amp; \frac {\partial J} {\partial \theta_2} &amp; \frac {\partial J} {\partial \theta_3}\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix}-3 &amp;4 &amp; -5 \end{bmatrix}$$ ∇J(θ)=[∂θ1​∂J​​∂θ2​∂J​​∂θ3​∂J​​]=[−3​4​−5​]

梯度下降算法步骤

算法步骤：

给定目标函数$f(x)$和初始点位置$x_0$

1. 计算梯度，取反表示沿逆梯度方向。 $\Delta x_t=-\nabla f(x_t)$
2. 计算下一处的值：每次参数移动的幅度是$\sigma$，称为学习率。更新后的参数$x_{t+1}=x_t+\sigma \cdot \Delta x_t$
3. 重复1、2，直至$|\Delta x_t|<ϵ$ ，其中$ϵ$是预先设置一个很小的值，满足条件时结束。

$eg:$

函数$J(w)=w^2$，它的梯度计算公式为$\nabla =2\cdot w$初始位置$w=10$，使用梯度下降计算极小值。其中学习率0.2。

计算过程如下

几种梯度下降算法

批梯度下降 batch gradient descent (BGD)

在每次参数更新时使用全部的样本数据，${\theta }_i={\theta }_i-\alpha \sum _{j=0}^m(h_{\theta }(x_0^{(j)},x_1^{(j)},...x_n^{(j)})-y_j)x_i^{(j)}$，优点是充分利用了全部数据，保证在足够多的的迭代后可以达到最优，缺点是数据量过大时迭代十分缓慢，收敛速度很慢。

随机梯度下降 stochastic gradient descent (SGD)

与BGD不同在于，每次使用一个样本用于更新参数。${\theta }_i={\theta }_i-\alpha (h_{\theta }(x_0^{(j)},x_1^{(j)},...x_n^{(j)})-y_j)x_i^{(j)}$。优点是一次训练一个样本速度快，但一个样本决定梯度方向， 可能导致解不是最优，而且每次样本方向变化大，不容易很快收敛到最优解或局部最优解。

小批量梯度算法 Mini-batch gradient descent

每次使用一部分样本用于更新参数，即batch_size。对一个总样本数据m的数据集，每次使用x个样本，更新公式为${\theta }_i={\theta }_i-\alpha \sum _{j=t}^{t+x-1}(h_{\theta }(x_0^{(j)},x_1^{(j)},...x_n^{(j)})-y_j)x_i^{(j)}$

batch_size=1时，即为SGD的情况，batch_size=m时，即为BGD的情况。

梯度下降的缺陷

图片出自《深度学习与计算机视觉、算法原理、框架与代码实现》

函数的特殊点。从梯度下降的步骤来看，根据梯度的方向判断参数移动的方向，但是当$J^{\prime }(w)=0$的时候，就无法判断往哪边移动。称$J^{\prime }(w)=0$的点为驻点或者临界点。

函数会出现存在梯度为0的临界点，但该点不是最小点也不是最大点，这种临界点称为鞍点（Saddle Point）。

函数在某一段区域，梯度很小，且范围很大，梯度值小于更新条件，此时算法可能会停止迭代，这种区域称为停滞区。

极小值的存在，也会使算法停止迭代，从而得到不准确的结果，陷入局部最优解的情况。

因此，梯度下降算法的缺陷在于鞍点、停滞区、极小值的存在。

梯度下降算法通常适用于凸函数的情况。

梯度下降算法的改进

冲量momentum

算法步骤：

给定目标函数$f(x)$和初始点位置$x_0$

1. 计算梯度，取反表示沿逆梯度方向。 $\Delta x_t=-\nabla f(x_t)$
2. 计算下一处的值：设置一个冲量项，$V_{t+1}=\gamma v_t+\eta \Delta x_t$，更新后的参数为$x_{t+1}=x_t+v_{t+1}$
3. 重复1、2。

与原始梯度下降算法不一样的是，更新参数时，考虑到一个冲量，且冲量每次迭代时要乘以衰减数。在冲量项的影响下，算法迭代就相当于带上了“惯性”，前次迭代位置前进的方向可以影响到下一次迭代。这样当算法经过鞍点或是停滞区时，就不至于停下来做过于缓慢的迭代，而经过并不是很“深”的极值时，就可以借助冲量项带来的“惯性”冲出极值所的“坑”

算法停止的的标准也不再是梯度小于一个阈值。停止算法的标准可以是冲量小于某个值，梯度小于某个值，或是用户给定一个次数就停止。

Nesterov Accelerated Gradient Descent (NAG方法)

与加入冲量的改进唯一不同是，计算梯度的位置，不是当前位置$x_t$，而是沿当前冲量前进一步的位置。

给定目标函数$f(x)$和初始点位置$x_0$，以及初始动量$v_0$

1. 计算梯度，取反表示沿逆梯度方向。 $\Delta x_t=-\nabla f(x_t+\gamma v_t)$
2. 计算下一处的值：设置一个冲量项，$V_{t+1}=\gamma v_t+\eta \Delta x_t$，更新后的参数为$x_{t+1}=x_t+v_{t+1}$
3. 重复1、2。

反向传播算法（ BackPropagation算法 BP)

此部分参考了一篇博客，https://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html，
写的超级详细，跟着走了一遍过程，很容易理解反向传播的计算过程。

此外，参考《机器学习》的BP算法步骤，总结很简练，但没有具体数据去实现，看着很抽象。

算法的主要思想：

1. 数据集输入神经网络，经过隐藏层，最终达到输出层。该过程是前向传播过程。
2. 计算输出结果与真实结果存在误差，因此计算出误差，并将该误差从输出层向隐藏层反向传播，直至传播到输入层。
3. 在反向传播的过程中，根据误差调整各种参数的值；不断迭代上述过程，直至收敛

$eg:$ 以下图为例，使用BP算法更新各层参数。

1. 输入$(0.05，0.1)$ 计算各级的输出：

   隐藏层输入$h{1}_{in}=w_{11}^1\ast x_1+w_{21}^1\ast x_2+b_{11}^1=0.15\ast 0.05+0.2\ast 0.1+0.35=0.3775$

   ​ 输入$h{2}_{in}=w_{12}^1\ast x_1+w_{22}^1\ast x_2+b_{12}^1=0.25\ast 0.05+0.3\ast 0.1+0.35=0.3925$

   隐藏层输出：$h{1}_{out}=sigmoid(h{1}_{in})=0.59326999211$ $h{2}_{out}=sigmoid(h{2}_{in})=0.596884378259767$

   隐藏层到输出层：

   神经元$y_1$的输入输出是[1.10590596705977 0.7513650695523157]

   神经元$y_2$的输入输出是[1.2249214040964653 0.7729284653214625]

   因此，前向传播的输出结果是 [ 0.7513650695523157 0.7729284653214625 ]

   $$\begin{bmatrix} 0.7513650695523157 &amp; 0.7729284653214625 \end{bmatrix}$$ [0.7513650695523157​0.7729284653214625​] 而真实值是$\left[\begin{array}{cc}0.01& 0.99\end{array}\right]$

2. 计算前向传播的结果与真实值的误差 ，使用均方误差

   $$E_k=\frac{1}{2}\sum _i(y_{predict}-y_{truth}{)}^2$$

   根据公式，可以算出总误差值$E_k=\frac{1}{2}((0.7513650695523157-0.01{)}^2+(0.7729284653214625-0.99{)}^2)=0.2983711087600027$

3. 反向传播，更新参数。

   

   误差的公式
   $$MSE=\frac{1}{2}[(y{1}_{out}-y{1}_{truth}{)}^2+(y{2}_{out}-y{2}_{truth}{)}^2]其中y{1}_{truth}、y{2}_{truth}都是常量$$

   误差公式中只有输出值是变量，每个输出值又是通过各个路径的参数“复合”而来，看成一个复合函数。以输出y1为例：$y{1}_{out}=sigmoid(y{1}_{in})=sigmoid(h{1}_{out}\ast w_5+h{2}_{out}\ast w_6+b21)$，而$h{1}_{out}、h{2}_{out}$等又可以推向输出层。$h{1}_{out}=sigmoid(h{1}_{in})=sigmoid(x_1\ast w1+x2\ast w2+b_{11})$

   故
   $$\begin{gathered} y{1}_{out}=sigmoid(y{1}_{in})=sigmoid(h{1}_{out}\ast w_5+h{2}_{out}\ast w_6+b_{21}) \\ =sigmoid(sigmoid(h{1}_{in})\ast w5+sigmoid(h{2}_{in})\ast w_6+b_{21}) \\ =sigmoid(sigmoid(x_1\ast w1+x2\ast w2+b_{11})\ast w_5+sigmoid(x_1\ast w_3+x_2\ast w_4+b_{12})+b_{21}) \end{gathered}$$

   计算误差与某个参数$w$的偏导，使用链式法则求偏导。

   从输出层到隐藏层的参数

   例如计算$w_5$对最终损失的影响，偏导公式如下。没有考虑$y{2}_{out}$，因为$y2$的传播路径与$w5$无关。
   $$\frac{\partial }{\partial w_5}MSE=\frac{\partial MSE}{\partial y{1}_{out}}\ast \frac{\partial y{1}_{out}}{\partial y{1}_{in}}\ast \frac{\partial y{1}_{in}}{\partial w_5}$$

   依次计算该公式的各个部分的值。

   $MSE$对$y{1}_{out}$的偏导，
   $$\frac{\partial MSE}{\partial y{1}_{out}}=\frac{\partial \frac{1}{2}[(y{1}_{out}-y{1}_{truth}{)}^2+(y{2}_{out}-y{2}_{truth}{)}^2]}{\partial y{1}_{out}}=y{1}_{out}-y{1}_{truth}=0.74136507$$

   $y{1}_{out}$对$y{1}_{in}$的偏导，sigmoid函数的导数公式是$f^{\prime }(x)=f(x)\ast (1-f(x))$。

   根据计算式$y{1}_{out}=sigmoid(y{1}_{in})$可以算出
   $$\frac{\partial y{1}_{out}}{\partial y{1}_{in}}=y{1}_{out}\ast (1-y{1}_{out})=0.75136507\ast (1-0.75136507)=0.1868156016$$
   $y{1}_{in}$对$w_5$的偏导，计算式$y{1}_{in}=h{1}_{out}\ast w_5+h{2}_{out}\ast w_6+b_{21}$，可以算出
   $$\frac{\partial y{1}_{in}}{\partial w_5}=h{1}_{out}=0.59326999211$$
   最后将三者乘起来，得到
   $$\frac{\partial }{\partial w_5}MSE=0.74136507\ast 0.1868156016\ast 0.59326999211=0.08216704052233154$$
   更新$w_5$的值，$w_5=w_5-\sigma \ast \frac{\partial }{\partial w_5}MSE=0.4-0.5\ast 0.08216704052233154=0.3589164797388342$

   其中$\sigma$是学习率，更新公式和梯度下降算法一样。

   总误差对$w_5$的偏导：$(y{1}_{out}-y{1}_{truth})\ast [y{1}_{out}\ast (1-y{1}_{out})]\ast h{1}_{out}$

   同理可得对$w_6、w_7、w_8$的偏导。
   $$\begin{gathered} \frac{\partial }{\partial w_6}MSE=(y{1}_{out}-y{1}_{truth})\ast [y{1}_{out}\ast (1-y{1}_{out})]\ast h{2}_{out}=0.0826676278049868 \\ \frac{\partial }{\partial w_7}MSE=(y{2}_{out}-y{2}_{truth})\ast [y{2}_{out}\ast (1-y{2}_{out})]\ast h{1}_{out}=-0.02260254047747507 \\ \frac{\partial }{\partial w_8}MSE=(y{2}_{out}-y{2}_{truth})\ast [y{2}_{out}\ast (1-y{2}_{out})]\ast h{2}_{out}=-0.022740242215978222 \end{gathered}$$
   更新后的参数
   $$\begin{gathered} w_6=w_6-\sigma \ast \frac{\partial }{\partial w_6}MSE=0.4086661860975066 \\ {w}_7=w_7-\sigma \ast \frac{\partial }{\partial w_7}MSE=0.5113012702387375 \end{gathered}$$

偏置更新：$y{1}_{out}=sigmoid(y{1}_{in})$，$y{1}_{in}$中的偏置项只有一项，偏导是1。因此复合后的结果是$\frac{\partial }{\partial b_{21}}MSE=y{1}_{out}\ast (y{1}_{out}-y{1}_{out})$
$$\begin{gathered} b_{21}=b_{21}-\sigma \ast [y{1}_{out}\ast (1-y{1}_{out})]=0.6-0.5\ast 0.1868156016=0.5065921992 \\ {b}_{22}=b_{22}-\sigma \ast [y{2}_{out}\ast (1-y{2}_{out})]=0.6-0.5\ast 0.1755100528=0.5122449736 \end{gathered}$$

从隐藏层到输入层的参数更新

以$w_1$为例，但是与上面不同的是，$w_1$会影响到全部的输出，因为它通过$h_1、w_5、w_7$传播到两个输出y，因此会有两个误差。(这段公式老是报错。。。只好贴图了)

如上图绿色箭头，每个神经元被分为两块，左边表示输入in，右边表示输出out，绿色表示反向传播的路径，截止到w1，可以看到，损失对w1的偏导，分为两条路径，但两条路径有部分是共用，即$h{1}_{out}$反向传播到输入层的部分。

公式（19）的计算过程如下，可以发现部分运算值已经在上面的w5到w8部分更新过一次。
$$\begin{gathered} \frac{\partial MSE}{\partial y{1}_{out}}\ast \frac{\partial y{1}_{out}}{\partial y{1}_{in}}=[\frac{\partial \frac{1}{2}[(y{1}_{out}-y{1}_{truth}{)}^2+(y{2}_{out}-y{2}_{truth}{)}^2]}{\partial y{1}_{out}}][y{1}_{out}\ast (1-y{1}_{out})] \\ =0.74136507\ast [0.75136507\ast (1-0.75136507)]=0.13849856154533652 \end{gathered}$$
而
$$\frac{\partial y{1}_{in}}{\partial h{1}_{out}}=w_5=0.4，因为y{1}_{in}是线性叠加而来，与h1有关的边只有w_5$$
同理可以算出
$$\frac{\partial MSE}{\partial y{2}_{out}}\ast \frac{\partial y{2}_{out}}{\partial y{2}_{in}}=(y{2}_{out}-y{2}_{truth})\ast (y{2}_{out}\ast (1-y{2}_{out}))=-0.038098236516556236$$
而
$$\frac{\partial y{2}_{in}}{\partial h{1}_{out}}=w_7=0.5，因为y{2}_{in}是线性叠加而来，与h1有关的边只有w_7$$
从而，公式（19）的括号里的值，计算结果是
$$0.13849856154533652\ast 0.4-0.038098236516556236\ast 0.5=0.03635030635985649$$
计算$h{1}_{out}$到$w_1$的偏导。从$h{1}_{out}$到$h{1}_{in}$，是一个sigmoid函数，而$h{1}_{in}$到输入是线性叠加，与$w_1$有关的项是$w1\ast x1$，因此$h{1}_{in}$对于$w_1$的偏导是$x_1$
$$\frac{\partial h{1}_{out}}{\partial h{1}_{in}}\ast \frac{\partial h{1}_{in}}{\partial w_1}=h{1}_{out}\ast (1-h{1}_{out})\ast x_1=0.012065035428616262$$
综上，$\frac{\partial }{\partial w_1}MSE=0.012065035428616262\ast 0.03635030635985649=0.0004385677340727236$

更新$w_1$的值，$w_1=w_1-\sigma \ast \frac{\partial }{\partial w_1}MSE=0.14978071613296362$

同理，计算对$w_2$的偏导。可以看到与计算$w_1$不同的传播路径在于隐藏层到输入层是连接到$x_2$这个神经元，因此

$\frac{\partial }{\partial w_2}MSE=h{1}_{out}\ast (1-h{1}_{out})\ast x_2\ast 0.03635030635985649=0.0008771354681454472$

更新后w2的值是$w_2=0.1995614322659273$

同理计算w3和w4
$$\begin{gathered} \frac{\partial }{\partial w_3}MSE=(\frac{\partial MSE}{\partial y{1}_{out}}\ast \frac{\partial y{1}_{out}}{\partial y{1}_{in}}\ast \frac{\partial y{1}_{in}}{\partial h{2}_{out}}+\frac{\partial MSE}{\partial y{2}_{out}}\ast \frac{\partial y{2}_{out}}{\partial y{2}_{in}}\ast \frac{\partial y{2}_{in}}{\partial h{2}_{out}})\ast \frac{\partial h{2}_{out}}{\partial h{2}_{in}}\ast \frac{\partial h{2}_{in}}{\partial w_3} \\ =[(y{1}_{out}-y{1}_{truth})\ast (y{1}_{out}\ast (1-y{1}_{out}))\ast w_6+(y{2}_{out}-y{2}_{truth})\ast (y{2}_{out}\ast (1-y{2}_{out}))\ast w8]\ast \\ (h{2}_{out}\ast (1-h_{2}out))\ast x1=0.0004977127352608601 \end{gathered}$$

更新后$w_3=0.24975114363236958$

$w4与w3$也只有隐藏层反向到输出的位置不同，对$w_4的偏导为0.0009954254705217202$，更新后$w_4=0.29950228726473915$

$$\begin{gathered} b_{11}=0.34998903580664814 \\ {b}_{12}=0.3450228726473914 \end{gathered}$$

全部更新一轮后的输出结果为 [ 0.7237123710461725 0.7595051820170899 ]

$$\begin{bmatrix} 0.7237123710461725 &amp; 0.7595051820170899 \end{bmatrix}$$ [0.7237123710461725​0.7595051820170899​]，损失由0.29837110876000270变降低到0.2812566048506621

总结：

这部分内容，在书上都放在了神经网络的优化方法部分。神经网络的训练实际上就是通过不断的训练，通过某种算法更新网络各个层级的权重参数，从而使损失函数降低。
梯度下降是通过函数的梯度性质来求解函数最小值，当然优缺点也很明显。除了梯度下降，还有牛顿-拉普森法、Adam法等很多其他优化算法。
而反向传播算法，是针对神经网络逆向优化所有参数，利用了梯度下降计算，达到一个全局最优的解。