描述角度的分布汇总_角度分布

最近在寻找描述角度的分布时，发现了一本书【Statistical Analysis of Circular Data】，对于这些分布的特性与应用比较详细，在这里先记录几个典型分布作为之前博文的备选。

Cardioid Distribution

f C ( θ ) = 1 2 π { 1 + 2 ρ cos ⁡ ( θ − μ ) } f_{C}(\theta)=\frac{1}{2 \pi}\{1+2 \rho \cos (\theta-\mu)\} fC​(θ)=2π1​{1+2ρcos(θ−μ)}
其中 $\theta \in [0,2\pi ),\rho \in [0,\frac{1}{2}]$

Wrapped Normal Distribution

$$f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[\frac{-(\theta -\mu +2\pi k{)}^2}{2{\sigma }^2}\right]$$
与前面分布不同的是，$\theta$ 跨度为 $2\pi$ 即可

VMF Distribution

f ( α , β ) = k 4 π sinh ⁡ k exp ⁡ { k [ sin ⁡ β 0 cos ⁡ β cos ⁡ ( α − α 0 ) + cos ⁡ β 0 sin ⁡ β ] } cos ⁡ β

$$\begin{aligned} f(\alpha, \beta)=& \frac{k}{4 \pi \sinh k} \exp \left\{k\left[\sin \beta_{0} \cos \beta \cos \left(\alpha-\alpha_{0}\right)\right.\right.\\ &\left.\left.+\cos \beta_{0} \sin \beta\right]\right\} \cos \beta \end{aligned}$$ f(α,β)=​4πsinhkk​exp{k[sinβ0​cosβcos(α−α0​)+cosβ0​sinβ]}cosβ​

• 其中 $k$ 为聚集程度，${\alpha }_0$ 和 ${\beta }_0$ 分别代表旋转角和仰角的中值
• $\beta =0$ 时，VMF Distribution 降级为冯米塞斯分布