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描述角度的分布汇总_角度分布

角度分布

最近在寻找描述角度的分布时,发现了一本书【Statistical Analysis of Circular Data】,对于这些分布的特性与应用比较详细,在这里先记录几个典型分布作为之前博文的备选。

Cardioid Distribution

f C ( θ ) = 1 2 π { 1 + 2 ρ cos ⁡ ( θ − μ ) } f_{C}(\theta)=\frac{1}{2 \pi}\{1+2 \rho \cos (\theta-\mu)\} fC(θ)=2π1{1+2ρcos(θμ)}
其中 θ ∈ [ 0 , 2 π ) , ρ ∈ [ 0 , 1 2 ] \theta \in [0, 2\pi), \rho \in[0, \dfrac{1}{2}] θ[0,2π),ρ[0,21]

Wrapped Normal Distribution

f W N ( θ ; μ , σ ) = 1 σ 2 π ∑ k = − ∞ ∞ exp ⁡ [ − ( θ − μ + 2 π k ) 2 2 σ 2 ] f_{W N}(\theta ; \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \exp \left[\frac{-(\theta-\mu+2 \pi k)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] fWN(θ;μ,σ)=σ2π 1k=exp[2σ2(θμ+2πk)2]
与前面分布不同的是, θ \theta θ 跨度为 2 π 2\pi 2π 即可

VMF Distribution

f ( α , β ) = k 4 π sinh ⁡ k exp ⁡ { k [ sin ⁡ β 0 cos ⁡ β cos ⁡ ( α − α 0 ) + cos ⁡ β 0 sin ⁡ β ] } cos ⁡ β

f(α,β)=k4πsinhkexp{k[sinβ0cosβcos(αα0)+cosβ0sinβ]}cosβ
f(α,β)=4πsinhkkexp{k[sinβ0cosβcos(αα0)+cosβ0sinβ]}cosβ

  • 其中 k k k 为聚集程度, α 0 \alpha_0 α0 β 0 \beta_0 β0 分别代表旋转角和仰角的中值
  • β = 0 \beta =0 β=0 时,VMF Distribution 降级为冯米塞斯分布
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