【数学基础】 foundation of mathematics ：Jensen不等式_mathematic求置信度

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什么是置信区间、置信度

  统计学有个核心思想就是用样本估计总体
  一般地，用到置信度这个概念是为了求得真值，而真值就是我们只能估计的总体参数；我们取得数据是样本数据，点估计就是样本参数的真实值。

  如图，假设在样本数目不变的情况下，做了一百次实验，其中有95个置信区间包含了总体真值，则置信度为95%。其中大虚线表示为总体参数真值，是不知道且想要估计的值，因为100个置信区间中有95个置信区间包含了真实值，所以当我们只做一次置信区间时，我们认为这个区间是可信的，并有95%的概率认为该区间包含了总体参数真实值。
 
  举例，进行射击测试，得到分数的均值$\overline{X}$是8，但是我们不能说均值就是总体期望$\mu$，但我们可以说总体期望可能在8附近，如果均值和总体期望做差的话，应该会小于某个小的值∆，即$|\overline{X}-\mu |<∆$，在这里将不等式展开便可以得到总体期望的置信区间；而置信度指的是，均值与总体期望的差值小于这个给定值的概率为1-α，即$P(|\overline{X}-\mu |<∆)=1-\alpha$，换句话说，我们有1-α的信心认为，这个均值已经很总体期望很接近了。