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【 数字信号处理 】定点数的表示之二进制数的原码与补码_数字信号如何用二进制表示

数字信号如何用二进制表示

为什么要讲这个简单的问题,就是因为看到了一些比较玄乎的表达方式,归根到底也能得到二进制的原码和补码表示,但就是看着难受,为此,为了让自己不被同化,记录下最简单的求二进制原码和补码的方式。

数字信号处理涉及大量的数学运算,既然是数学运算,就涉及一个根本的问题,数字的表示方法。

数字的表示方法分为定点数的表示和浮点数的表示。就FPGA而言,其胜任定点运算的能力更为显著。

定点数所涉及的内容之一,就是二进制数的表示,因为计算机都是以二进制数表示数字,所以对这方面深入理解还是很有必要的。


对于无符号数而言,使用二进制数的原码来表示;

对于有符号数而言,则使用二进制数的补码来表示。

如何求解有符号数的补码呢?

规则是,正数的原码和补码一致,负数的补码是原码的符号位不变,其他位取反加1(或直接取绝对值,之后求反加1).


N为二进制数能表示的无符号整数范围是 \left [ 0,2^{N}-1 \right ],所能表示的有符号整数范围是[-2^{N-1},2^{N-1}-1].

我们不妨试一下,以4位二进制数为例:

表示无符号数时,最大数max=(1111)_{2}=(2^4-1)_{10}=15,min=(0000)_{2}=0

表示有符号数时,由于我们采用的是补码的形式,所以max=(0111)_{2}=2^{4-1}-1=7,

min=(1000)_{2}=-8

这个最小值,我需要提出来讲,因为它比较难以理解。

我们列一个表格,来看看4位二进制有符号整数的补码和原码表示:

十进制数补码原码
-81000
-710011111
-610101110
-510111101
-411001100
-311011011
-211101010
-111111001
000000000
100010001
200100010
300110011
401000100
501010101
601100110
701110111

从这张表中可以看出,-8不存在原码,那-8的补码是怎么求的呢?或者-8的补码有什么来历?

根据前面的规则:

对于无符号数而言,使用二进制数的原码来表示;

对于有符号数而言,则使用二进制数的补码来表示。

如何求解有符号数的补码呢?

规则是,正数的原码和补码一致,负数的补码是原码的符号位不变,其他位取反加1.

求解负数的补码,一般而言,我们需要得到该数的原码,然后根据规则来求补码,可是我们看到,-8根本就不存在原码,如何有补码呢?

这里是一个规定,规定-8的补码是1000。

别急,我们这里说说来历:

先说说原码的缺陷,为什么有符号数不用原码来表示呢?非要搞出一个补码来?

对于有符号数而言,0的表示有两种:+0和-0,二者是相等的,都是0,如果用原码来表示0,如何表示呢?(以4位2进制数为例)

+0 => 0000

-0  => 1000

这就麻烦了,0有两种表示方法,所以呢?这就是原码表示有符号数的缺陷,我们取0的原码表示为0000,剩下一个1000没用到,后面有用。

既然原码有缺陷,我们设计了补码的表示方法,并设计了求补码的规则,上面已经说了好几遍了。

从-1到-7都可以用这个规则来求解补码,就是-8由于没有原码,无法使用规则求解,这里就将-0的原码1000作为-8的补码表示。

这样,从-1到-8都有相应的二进制码表示了,岂不快哉!


下面的一个话题是符号位扩展:

我们都知道-4的补码表示是1100,这是用4为二进制数表示的,如果我要求用5位二进制数表示,我们同样使用规则来求:

-4的原码是10100,之后符号位不变,其他位取反加1,得到11100.

可见,11100是将1100的符号位扩展1位得到的。

所谓的符号位扩展,是指将符号位向高位复制。这说明符号位扩展是不改变数值大小的。


最后一个话题:

有符号数X补码表示的最小位宽,直接给出公式:

w_{s}=ceil[log_{2}( \left | X \right | + 1 )]+1

对于无符号整数,因为不需要符号位,所以二进制原码表示时的最小位宽为:

w_{s}=ceil[log_{2}(X + 1 )]

 

 

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