空气动力学（笔记自留）-第三章（上）_在dτ时间内,流入微元的质量m1和流出微元的质量m 2为

第三章 流体动力学的基本方程组

根据三大定律建立流体运动的质量、动量和能量方程，包括微分形式和积分形式。
在适当的定解条件下可以获得详细的流场参数分布。
根据方程的积分形式，包括积分形式的质量、动量和能量方程和欧拉方程的伯努利积分，比较方便地解决流动问题。

3.1 引言

3.1.1 动力学任务与基本原则

根据质量守恒定律，系统的质量不随时间变化，对于流体系统则是质量的随体导数为零，即Dm/Dt=0。
以牛顿第二定律表达的动量守恒定律就是F=ma=mDV/Dt。
采用热力学第一定律表述的能量守恒定律为：单位时间内外界传给系统的热量，等于系统的总能量的增加率加上系统对外界输出的功率，即Q^·=DE系统/Dt+W^·系统输出。或写为：DE系统/Dt=Q^·+W^·。此处W^·为外界对系统的做功率，包括彻体力的做功率和表面力的做功率。

3.1.2 系统（流体微团）与控制体（微元体）

研究流体微团有两种流体模型。

1. “随体”观点的模型，认定某个有确定质量的流体团，称为封闭“系统”。系统外的一切统称为外界。系统具有以下特点：
   1 . 系统的体积Ω(t)和界面积S(t)随流体运动而随时变化。
   2 . 在系统的界面上，只有能量交换，没有质量交换。
   3 . 在系统的边界上，系统受到外界对其作用的表面力。
   无限小的流体“系统”称为“流体微团”，对应“系统”模型的描述流体运动的方法，是拉格朗日方法。
   2.“当地”观点的模型，在流体空间内认定一个固定的控制面所包围的区域，称为“控制体”，具有以下特点：
   1 . 控制体的体积欧，Ω和界面积S是固定不变的。
   2 . 在控制体的界面上，既有能量交换，又有质量交换。
   3 . 在控制体的界面上，控制体内流体受到控制体以外的流体对其作用的表面力。
   无限小的流体“控制体”，称为“微元体”。对应“控制体”模型的描述流体运动的方法是欧拉方法。

3.1.3 微分形式和积分形式的基本方程

两种方式：描述流场中每一点的流动细节或针对一个有限区域，通过研究某物理量流入和流出的平衡关系来确定总的作用效果。前一种方法称微分方法，后一种称为积分方法。
基本方程可以用两种形式表示。微分形式针对无限小的流体微团，或无限小体积的微元体，描述流场每点细节；积分形式的方程针对有限大体积的系统，或有限大体积的控制体、区域。
要了解流场各点细节是，需要采用微分形式的方程；如果流动过程在某处发生不连续变化，微分形式的方程失效，必须采用积分形式的方程。
当只要求了解流体动力学问题的总体性能关系，而不要求了解流动过程的详细情况时，可用积分形式的基本方程求解，这种方法简单方便。积分形式的方程只要求方程只要求积分本身存在，适用于有间断的流动。

3.1.4 雷诺输运定理

解决将描述“系统”的微分基本方程转化为描述“控制体”的方程的问题。
需要将“系统”物理量的随体导数用“控制体”中物理量的当地时间导数和单位时间从“控制体”界面流出流出的物理量表达。

1. 研究的“系统”和控制体
   在流场中任意取一个有限大小的有流体流过的控制体(ABCD)，体积为Ω(ABCD)，控制体的表面为S(ABCD)。以t瞬时位于该控制体内的流体作为“控制体”与“系统”占据相同的相同的空间。经过dt时间间隔后，系统顺流到新的位置，形状也与t时刻的不同，但控制体仍在原来位置上。
   以N表示与“系统”体积有关的任意随流物理量，如“系统”内流体具有的质量、内能、动能、动量、动量矩等。
   以η表示“系统”内单位体积流体所具有的的随流物理量，如密度、单位体积动能、动量等。
   N与η之间具有以下关系：
   N=∭η(x,y,z,t)dΩ
   η与N一般情况下是空间坐标和时间坐标的函数，可以是标量或矢量。
2. “系统”随时间的变化率——随体导数
   “系统”随物理量N对时间的变化率为lim(△N/△t)系统，是一个随体导数（物质导数、实质导数），应用随体导数符号记为D(∭ηdΩ)/Dt=DN/Dt=N(AB^·^CD^·^,t+dt)-N(ABCD,t)/dt
3. dt时间内固定区域(AB^·CD)中物理量的变化
   N(AB^·^CD,t+dt)-N(AB^·^CD,t)=dt∭δη(x,y,z,t)/δtdΩ
4. t+dt时刻区域(ADCD^·)中物理量和t时刻(ABCB^·)中物理量的差别
   N(ADCD^·^,t+dt)-N(ABCB^·^,t+dt)=dt∯η(x,y,z,t)V(x,y,z,t)·nδS
5. 雷诺输运定理
   DN=dt(∭δηδΩ/δt)+dt∯η(x,y,z,t)V(x,y,z,t)·nδS
D(∭η(x,y,z,t)dΩ)/Dt=∭δη(x,y,z,t)δΩ/δt+∯η(x,y,z,t)V(x,y,z,t)·nδS
   式中的物理量η可以是矢量或标量。
   式左端是有限质量的“系统”的某物理量的总和在系统运动过程中随时间的变化率，即“随体导数”。
   右端第一项是与该系统此时占据空间重合的“控制体”内物理量的当地时间导数，表征了流场的非定常特性；
   右端第二项是单位时间内，通过“控制体”的界面“控制面”净流出的物理量，是由于流场的不均匀性引起的。
   综合，雷诺输运定理的物理含义是：某瞬间“系统”中某一随体物理量随时间的变化率，等于同一瞬间与该“系统”重合的控制体中所含同一物理量的当地增加率与该物理量通过控制面的净流出率之和。

3.2 质量方程

用随体观点表述为：封闭“系统”内流体的质量既不能产生，也不能消失，即“系统”的质量随时间的变化率为零。
用当地观点表述为：“控制体”内的流体质量经过某时间段后的变化（增加）应等于该时间段内通过控制面净流入“控制体”的质量。

3.2.1 微分形式的质量方程（连续方程）

1. 随体观点的连续方程
   1 . 连续方程的导出
   微分形式的流体质量方程，又称连续方程：Dρ/Dt+ρ▽·V=0
   含义：流体运动过程中单位体积流体微团的质量变化率为0。
   方程左端第一项是由密度变化引起的单位体积流体微团的质量变化率，第二项为体积应变率与密度的乘积，是由微团体积变化引起的质量变化率。
   2 . 不可压流的连续方程
   对于不可压流，流体的密度在流动过程中保持不变，Dρ/Dt=0，即δρ/δt+ρ▽·V=0，这就是不可压流动的连续方程。
   需要注意，不可压指的是每个流体质点的密度在流动过程中保持不变(Dρ/Dt=0)，不是指流场的密度不随空间和时间变化(ρ=const)。
   可以将不可压流的连续方程写成另一种形式：▽·V=0，即δu/δx+δv/δy+δw/δz=0。
   不可压流中流体速度为零。速度的散度就是微团的体积应变率，上式直接表达了不可压流动中微团体积不变这一特点。
2. 当地观点的连续方程
   微元体内质量的变化等于从微元体表面流入的质量减去流出的质量，或者说等于通过微元体表面的净流入质量。
   1 . 微元体内质量的变化
   dt时间段内微元体中质量的变化（增加）为(δρdt/δt)dxdydz。
   2 . 从微元面流入微元体的质量
   dt时间段内从微元面dydz流入的质量为[ρu-δ(ρu)dx/2δx]dydzdt。
   从dxdz微元面和dxdy微元面流入的质量分别为[ρv-δ(ρv)dy/2δv]dxdzdt和[ρw-δ(ρw)dz/2δz]dxdydt
   3 . 从微元面流出的微元体的质量
   dt时间段内从微元面dydz流入的质量为[ρu+δ(ρu)dx/2δx]dydzdt。
   从dxdz微元面和dxdy微元面流入的质量分别为[ρv+δ(ρv)dy/2δv]dxdzdt和[ρw+δ(ρw)dz/2δz]dxdydt
   4 . 连续方程
   整理得到：δρ/δt+δ(ρu)/δx+δ(ρv)/δy+δ(ρw)/δz=0，采用散度符号表示为：δρ/δt+▽·(ρV)=0
   含义为：单位体积的微元体内质量的当地变化率与通过微元面的质量净流出率之和为零

3.2.2 积分形式的质量方程

1. 方程的导出
   对于有限大的封闭流体系统，质量守恒实质系统的质量在运动过程中保持不变：D(∭ρ(x,y,z,t)dΩ)=0，可以认为是采用随体观点的积分形式的质量方程，系统的体积和界面积在运动过程中都可能发生变化。
   常用积分形式的质量方程：∭δρ(x,y,z,t)δΩ/δt+∯ρ(x,y,z,t)V(x,y,z,t)·nδS=0，式中第一项是对控制体的体积Ω进行积分，第二项是对控制体的外界面进行面积分，控制体的体积和界面积都固定不变。
   积分形式的质量方程用于控制体整体。适用于连续流动和内部包含不连续流动的控制体。
   将积分形式的质量方程应用于连续流动，根据高斯定理将曲面积分化为体积分，可以得到∭[δρ/δt+▽·(ρV)]δΩ=0。该式对任何大小的控制体均成立，因此被积函数必须为零。
2. 特殊流动情况下的积分形式质量方程
   1 . 密度为常数的流动
   对不可压均值流体（ρ=const）的流动，有∯V(x,y,z,t)·ndS=0
   将控制面分解为流体流入的面和流出的面，即S=Sout+Sin，并注意到上式中n沿控制面外法向，有-∬SinV·nδS=∬SoutV·nδS。式中，n依然是沿封闭曲面S的外法向。上式表明，对于不可压均值流体流动，当不存在内部源时，通过控制面流进和流出控制体的流体体积流量相等。对于定常流动和非定常流均适用。
   2 . 定常可压流动
   当δρ/δt=0时，上式成为∯ρ(x,y,z,t)V(x,y,z,t)·ndS=0，可以改写为-∬SinρV·nδS=∬SoutρV·nδS。
   说明对于定常可压流动，流进控制体的质量流量等于流出控制体的质量流量。

3.3 运动微分方程

3.3.1 应力形式的运动微分方程

以“流体微团”为分析对象建立。
可以表述为：流体微团的质量与加速度的乘积等于该微团所受外力的合力。

1. 流体中的应力状态
   理想无黏流体和静止的黏性流体微团受到的表面力就是压力，垂直于微团表面指向内。
   运动的黏性流体则出受到垂直于表面的压力外，还受到平行于表面的黏性切应力和垂直于表面的黏性正应力。
   应力的正负规定如下。正应力σ以沿作用面外法向为正，即以拉为正，压为负。对切应力τ来说，作用面的外法向沿坐标轴正向时，则取沿坐标轴正向的τ为正，反之取沿坐标轴负向的τ为正。
   表面应力的各分量也可用一个二阶张量表示，称为应力张量，属于二姐对称张量。
2. 作用于流体微团上的表面力合力
   法向沿x轴的两个表面上表面力合力为δPxdxdydz/δx，法向沿y轴和z轴的两个表面上表面力合力为δPydxdydz/δy和δPzdxdydz/δz。
   作用在流体微团上的表面力的总合力为FP合=(δPx/δx+δPy/δy+δPz/δz)dxdydz。
   展开为分量形式为FP合=dxdydz[(δσx/δx+δτyx/δy+δτzx/δz)i+(δτxy/δx+δσy/δy+δτzy/δz)j+(δτxz/δx+δτyz/δy+δσz/δz)k]。
3. 牛顿第二定律：微团质量x微团加速度=微团受力
   对微团应用牛顿第二定律，得ρdxdydzDV/Dt=微团上彻体力+表面力合力。
   将作用在单位质量流体微团上的彻体力记做f，中心点出单位质量流体受到的彻体力为f(x,y,z,t)，整个流体受到的彻体力可以采用该值与微团质量的乘积，即ρfdxdydz。微团受到的表面力合力为ρDV/Dt=ρf+δPx/δx+δPy/δy+δPz/δz
   各分量方程为ρDu/Dt=ρfx+δσx/δx+δτyx/δy+δτzx/δz，ρDv/Dt=ρfy+δτxy/δx+δσy/δy+δτzy/δz，ρDw/Dt=ρfz+δτxz/δx+δτyz/δy+δσz/δz。

3.3.2 牛顿流体的应力与应变率关系

1. 牛顿内摩擦定律
   对于黏性流体运动，根据牛顿内摩擦定律可知切应力为τyx=μδu/δy。τxy的下标y代表切应力的法向沿y轴，下标x代表哦切应力的方向沿x轴。该流动τxy>0，据此判断应力方向：在固定壁处，固壁的外法向向上（沿正y），固壁受到流体施加的切应力沿正x方向；固定壁处流体微团表面的外法向向下（沿负y），流体受到固壁施加的切应力指向负x方向。
   上式给出的应力与速度梯度的关系实际上就是应力与应变率的关系。对于xy平面内的流动，应变率张量S⁼的1分量Syx为Syx=(δv/δx+δu/δy)/2，对于上述直线层状流动，δv/δx=0.上式可改写为τyx=2μSyx，应力与应变率成比例。上式通常称为牛顿黏性应力公式。
2. 斯托克斯推广
   牛顿黏性公式针对直线层状流动提出，斯托克斯推广到黏性流体的任意流动情形中，提出以下假设：
   1 . 流体是连续的，它的应力张量是应变率张量的线性函数。
   2 . 流体是各向同性的，流体的性质与方向无关。无论怎样选取坐标系，应力与应变率的关系相同。
   3 . 当流体静止，应变率为0时，流体中的应力就是流体静压力，即∏⁼=-pE⁼=-p[1 0 0;0 1 0;0 0 1]，式中负号表示压力方向与微团表面的外法向相反。
   根据第一条假设，参照牛顿黏性应力公式τyx=2μsyx，假设存在如下应力-应变率关系：∏⁼=2μS⁼，式中S⁼为应变率张量。
   假设∏⁼=2μS⁼+bE⁼=2μS⁼+b[1 0 0;0 1 0;0 0 1]，式中b为某待定标量。
   斯托克斯假设黏性流体运动时的平均压力等于热力学压强，即P^-^=-(τx+τy+τz)/3=p，导出b=-2μ▽·V/3-p，从而有∏==2μS=-(2μ▽·V·E=)/3-pE=
   上式就是牛顿流体的应力应变率关系式，也称广义的牛顿黏性应力公式。
3. 表面应力具体公式
   将应变率张量S⁼代入上式，可以得到应力张量∏⁼各分量的具体公式：
   τx,y,z=2μδu,v,w/δx,y,z-2μ▽·V/3-p
   τxy=τyx=μ(δu/δy+δv/δx)
   τxz=τzx=μ(δu/δz+δw/δx)
   τyz=τyx=μ(δv/δz+δw/δy)

3.3.3 纳维-斯托克斯方程

黏性流体运动微分方程（微分形式的黏性流体动量方程），简称N-S方程。

1. N-S方程的一般方程
2. 黏度μ为常数时的N-S方程
3. 黏度为常数时不可压流的N-S方程

3.4 积分形式的动量方程

微分形式的动量方程适用于流场中每一点。若所要求的只是总合的作用力，这时就可以转为研究有限大体积的流体系统或控制体，建立积分形式的动量方程来解决问题。

3.4.1 积分形式动量方程的推导

1. 流体系统的动量守恒定律
   在流场中任意取以优先大笑的有流体流过的控制体，控制体体积为Ω，控制体的外表面为S，Ω和S均是固定的。流体中的固体物体表面为S1。
   取定一个流体系统，在t瞬时“控制体”与“系统”占据相同的空间，系统占据的体积毁随时间变化。将动量守恒定律应用于流体系统，得到：D(∭ρ(x,y,z,t)V(x,y,z,t)dΩ)=∑F。
   上式含义可表述为：流体系统所具有的动量对时间的变化率，等于作用在其上的所有外力合力。
2. 动量守恒定律的控制体表述
   在雷诺输运定理中令η=ρV，得：D(∭ρVdΩ)/Dt=∭δ(ρV)dΩ/δt+∯(ρV)V·nδS。
   上式右端第二项（通过控制面的动量净流出率）只对控制外表面S进行了积分，因为表面S1上法向速度为零。将上式代入上式，得：∭δ(ρV)δΩ/δt+∯(ρV)V·nδS=∑F。
   该式左边第一项表示控制体内流体的动量随时间的当地变化率，对于定常流，此项等于零。第二项表示穿过控制体表面流体动量的净流出率，等于单位时间内流出控制体的流体所带走的动量与流进控制体的流体所带入的动量之差。
   对于控制体，动量方程可陈述为：控制体内动量随时间的当地变化率+通过控制面的动量净流出率=作用在控制体内的流体的所有外力合力。
   注意，作用于“控制体内流体”的所有外力合力就是作用于“系统”的合力，因为系统就是t时刻控制体内的流体。
3. 控制体内流体受力
   ∑F为作用于控制体内流体上的所有外力的合力，包括作用在控制体内所有流体质点上的彻体力和作用在控制面上的表面力。若以f表示单位质量流体受到的彻体力，则作用于控制体内流体的彻体力合力为：F体=∭ρfδΩ。
   表面力是控制体外的物体（包括流体与固体）通过直接接触的形式作用于控制面的力，包括压力和黏性表面力。在控制面S1上固体物体对控制体内流体施加表面力，需对S1面上的压力和黏性应力积分，此处只考虑总的效果，记为F物：FS1面=F物。
   在控制面S上式控制体外流体施加作用力，这里将压力和黏性力的积分贡献分开：FS面=-∯pnδS+FS面，黏性力，则作用在控制体上的总和力为：∑F=∭ρfδΩ-∯pnδS+F物+FS面，黏性力。
4. 适用于控制体的积分形式动量方程
   适用于控制体的动量方程：∭δ(ρV)dΩ/δt+∯(ρV)V·nδS=∭ρfδΩ-∯pnδS+F物+FS面，黏性力。
   当控制面S远离固体表面是，其上作用的黏性力很小，上式中FS面，黏性力可以略去。另外，式中的F物是“物体对流体”的作用力，具体应用时一般需要“物体对流体”的作用力，即-F物，且常用三个分量表示为：-F物=Xi+Yj+Zk。
   式中，X、Y、Z分别是物体受力的三个分量。
   流体力学中的彻体力一般值流体所受重力。对空气而言，它与表面力相比很小，所以常略去不计。对于液体，一般需要考虑，当所取坐标系z轴背向地球球心时，fx=fy=0,fz=-g，g为重力加速度。

3.4.2 积分形式动量方程的应用

积分形式的动量方程左端的体积分项表示控制体内流体动量的当地时间变化率，一般情况下很难确定，所以方程通常用于定常流动，此时体积分项等于零。
积分形式的动量方程是流体力学中最常用的基本方程之一，其优点在于：流动定常的情况下，只要知道控制体进出口（控制面）的流动情况，就可以求得总合的作用力，无须知道控制体内部的流动细节。
方程有以下几种应用方法。
第一种是在控制体内包有一个物体（如机翼），需求的是作用在这个物体上的合力（既包括压力，也包括黏性力）。由于控制体外表面S上的黏性力可以忽略，这时只要知道外表面S上的流速及压强分布情况，就能理算出物体的受力。
第二种是气流流经一段管道，管内可以有其他物体，也可以是空的，这时管壁和管内机件表面合起来作为控制面S1，进口和出口两个截面合起来为式中的控制面S，只要知道了进出口两个截面上的流动参数，就可以求得管壁和管内机件受到的合力。
第三种是在超声速气流的激波前后。
采用积分形式的方程解决问题时，控制体的选取是关键。一般原则是：控制面必须是封闭的，必须包围研究对象；控制面形状尽可能简单，尽可能利用全部已知量；尽可能便于计算，例如，采用流线或流面做控制面、用对称边界面、取平面边界等。

3.4.3 积分形式的动量矩方程及应用

积分形式的动量方程适用于流体的直线运动或一般曲线运动。
当流体绕定轴转动时，采用动量矩方程更方便，当不仅想知道作用力，还想知道合力作用点时，也需要用到动量矩方程。
动量矩守恒定理表述为：系统对某点的动量矩随时间的变化率，等于此时作用在系统上的所有外力对该点的力矩之和。

3.5 理想流体的欧拉方程及其积分

3.5.1 理想流体的欧拉方程

对于理想无黏流体，黏性力为零，此时N-S方程简化为欧拉方程：
∂u,v,w/∂t+u,v,w∂u/∂x+v∂u,v,w/∂y+w∂u,v,w/∂z=-∂p/ρ∂x,y,z+fx,y,z
写成矢量形式为：∂V/∂t+(V·▽)V=-▽p/ρ+f。
这就是理想无黏流体的运动微分方程，对于定常和非定常流动、可压和不可压流动均适用。
欧拉运动微分方程给出了压强的变化、速度的变化以及彻体力之间的关系。需要指出，在空气动力学中，重力作为一种彻体力一般可忽略不计。

兰姆-葛罗米柯方程

兰姆方程显式地包含速度旋度的理想流体运动微分方程，将欧拉方程中速度的迁移导数进行分解，将其中与旋度有关部分分离出来后导出的。

1. 兰姆方程的导出
   根据矢量恒等式V×(▽×V)=▽(V·V/2)-(▽·V)V，可以将矢量形式的欧拉方程写为：∂V/∂t+▽(V^2/2)-V×Ω=-▽p/ρ+f，上式称兰姆型运动方程。Ω为速度的旋度，也是涡量，Ω=2w=rotV。
   兰姆方程是另一种形式的欧拉方程，适用对象仍是理想无黏流。但对于无旋流动，使用兰姆方程比较方便，因为此时旋度项消失，方程得到简化。
2. 含有涡量及压力函数的动力学方程——葛罗米柯方程
   对于上面已将欧拉方程改写为含有涡量（旋度）的兰姆方程，再引入以下假定：
   1 . 彻体力是有势的，即f=-▽∏，式中，∏是彻体力f的势能函数。
   2 . 流体是正压的，即密度只是压力的函数：ρ=ρ§。这样的情况如：不可压流体运动，ρ=ρ§=const;运动过程是等温的，ρ=Cp;运动过程是绝热等熵，对量热完全气体有p=Cρ^γ。当密度只是压力的单值函数，可以引进压力函数Ρ：P=∫dp/ρ§或▽P=▽P/ρ。压力函数是作用在单位质量流体上压差力的势函数，类似彻体力f的势能函数∏。
   将上式代入兰姆方程，得到葛罗米柯方程：
   ∂V/∂t-V×Ω=-▽(P+∏+V^2/2)=-▽H，其中H=P+∏+V^2/2，H可视为单位质量流体的总机械能。

3.5.3 欧拉方程的积分

1. 伯努利积分
   若理想流体运动时满足以下条件：
   1 . 定常运动，即∂V/∂t=0，且流线与迹线重合；
   2 . 有旋的；
   3 . 彻体力是有势的；
   4 . 流体是正压的。
   此时葛罗米柯方程可写为：V×Ω=▽(P+∏+V^2/2)。
   可见式中▽(P+∏+V^2/2)是由速度矢量V和涡量矢量Ω叉乘后得到的新矢量，既垂直于速度矢量V，又垂直于涡量矢量Ω。因此它在流线或涡线上的投影都等于零，即V·▽(P+∏+V^2/2)=0，Ω·▽(P+∏+V^2/2)=0，所以有P+∏+V^2/2=C(沿流线)，P+∏+V^2/2=C(沿涡线)。式中，C为常数。上式就是对理想、定常、有旋流动导出的伯努利积分，适用于某条流线或涡线。上式中的积分常数C称为伯努利常数，沿同一流线，积分常数才相等，对不同流线或涡线，积分常数互不相同。
   对于不可压流，ρ=const时，伯努利积分为：p/ρ+∏+V^2/2=C(沿流线)。
   如果彻体力只是重力，设z表示相对于某个选定的参考平面的高度，伯努利积分成为：z+p/ρg+V^2/2g=C(沿流线)。上式是水力学应用最广的伯努利方程。它的意义可以从几何和能量两个角度说明。
   从几何意义上说，伯努利方程是指位置高度（流体质点在流线上所处位置）、压力高度（液柱底面上压力为p的液柱高度）和速度高度（流体质点在真空中以速度V铅直向上运动所能达到的高度）三者之和在同一条流线上不变。
   从能量意义上说，伯努利方程是指同一条流线上单位质量流体的位置势能、压力势能和动能之和，即总机械能保持不变。
2. 欧拉积分（无旋流的伯努利方程）
   欧拉方程是伯努利积分在流动时无旋的特例，其条件是：定常、无旋、彻体力有势、流体正压。
   流动定常、无旋时，葛罗米柯方程成为：▽(p+∏+V^2/2)=0，则P+∏+V^2/2=C(全流场)。对不可压流，有p/ρ+∏+V^2/2=C(全流场)。上式是适用于全流场的，全流场的C为一个常数；而有旋的伯努利方程积分常数C则是适用于一条流线的，流线改变后，常数C要变。欧拉积分通常也称为伯努利积分，作为其特例。
   对于不可压气体流动，若彻体力只是重力，欧拉积分式中的势能函数∏可以略去，成为p+V^2/2ρ=C，上式是在低速气流中经常使用的伯努利公式。C常写为p0，称为总压，则p0=p+V^2/2ρ。相应地，称p为静压，V^2/2ρ为动压（也称为速度头）。总压可看成在速度滞止为零时全部动能转化为压力势能后的总机械能。